Главная > Математика > Наука и теория информации
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

4. Эксперименты, требующие многих одновременных наблюдений при низких частотах

В разделах 2 и 3 мы обсуждали очень простой пример, в котором эксперимент был основан на наблюдении одного-единственного осциллятора, и мы нашли предел увеличения энтропии, когда перонтность правильного наблюдения считается равной 1/2. Этот предел был получен для

низких частот. Если включить и случай высокой частоты (раздел 3), то результаты могут быть представлены следующим образом: увеличение энтропии при отдельном наблюдении равно — низкие частоты ,

На практике в излучении черного тела высокие частоты не возбуждаются и одного кванта достаточно для надежного наблюдения.

Нужно отметить, что в рассуждениях предыдущих разделов предполагалось, что наблюдение состоит в отсчете значения энергии в резонаторе выше . Считается, что отрицательный отсчет, т. е. наблюдение низкой энергии резонатора, не дает какой-либо информации в силу соображений, приведенных в разделе 6 главы 13 в связи с обсуждением тепловой машины Силарда. Основное соображение, на основании которого мы ограничиваемся только информацией, полученной из положительных результатов (т. е. наблюдений высокой энергии в обнаруживающем приборе), состоит в том, что неясно, как определить надежность отрицательного отсчета.

Рассмотрим теперь более сложную задачу, в которой эксперимент требует наблюдений над я осцилляторами. В некоторых случаях наблюдения с помощью я приемников делаются одновременно, но при иных обстоятельствах мы можем делать наблюдения последовательно. Для наблюдения может требоваться, чтобы только один резонатор обладал в данный момент энергией выше определенного предела , однако в иных экспериментальных устройствах наблюдение может быть основано на высоких значениях энергии в некотором числе резонаторов:

Предполагается, что все резонаторы поддерживаются в термостате при постоянной температуре Т; мы рассмотрим сначала случай низких частот . Задача состоит в определении предела , который дает общую вероятность

правильного наблюдения, равную 1/2, и вероятность, равную 1/2, для ложного наблюдения, обусловленного флуктуациями.

Возьмем произвольный предел и рассмотрим случай одного из осцилляторов. Из (14.5а) имеем следующие вероятности:

(14.21а)

— вероятность того, что тепловые флуктуации дают данному резонатору энергию больше , тогда как

есть вероятность того, что тепловые флуктуации дают резонатору энергию ниже . Для случая, когда наблюдение ведется над резонаторами, нетрудно вычислить следующую таблицу вероятностей, зависящих от тепловых флуктуаций.

Таблица 14.1

Сумма вероятностей для этих различных случаев должна, очевидно, равняться единице:

Уточним теперь экспериментальные условия наблюдения. Положим прежде всего, что наблюдение дает положительный результат, когда какой-либо из осцилляторов обладает энергией большей, чем Вероятность того, что это происходит не благодаря флуктуациям, равна а вероятность того, что один осциллятор (или более) поднят на уровень выше тепловыми флуктуациями, составляет 1 — Таким образом, вероятность правильного наблюдения есть , так как наблюдаемая энергия выше должна в этом случае быть результатом поглощения энергии внешнего источника. Вероятность ложного наблюдения, являющегося результатом флуктуаций, есть . Требуя, чтобы вероятность правильного наблюдения равнялась 1/2, получаем условие

(14.22)

или

(14.22а)

При мы получаем наш прежний результат (14.15):

При увеличении должно возрастать, так как с увеличением правая часть (14.22а) убывает. Следовательно, и убывает. Логарифмируя (14.22), получим асимптотическое выражение для

или

(14.23)

Значения коэффициента даны в следующей таблице:

В нашем эксперименте возбужденный резонатор получил свою избыточную энергию от внешнего источника, если наблюдение правильно, или, если наблюдение ложно, резонатор получил эту энергию от термостата. В любом случае эта избыточная энергия будет впоследствии поглощена термостатом, что приведет в случае правильного наблюдения к увеличению энтропии на

Это рассуждение в точности совпадает с предыдущим (см. (14.14) и (14.15)).

Нужно подчеркнуть, что в этой новой задаче вычисленное значение Д S представляет лишь нижний предел. Действительное увеличение может быть больше, чем . Мы наблюдаем поглощение энергии от внешнего источника только тогда, когда оно достаточно для превышения резонатором уровня . Но многие другие резонаторы могут поглотить некоторую энергию от внешнего источника в меньших количествах, которые не поднимут энергию резонаторов выше и ускользнут, таким образом, от нашего внимания. Эта поглощенная энергия также перейдет в термостат и даст дополнительное неизвестное увеличение энтропии. Итак, окончательно мы приходим к условию

(14.25)

Так как есть возрастающая функция n, то нижний предел увеличения энтропии возрастает с числом необходимых для эксперимента резонаторов.

Выражения (14.22), (14.22а), (14.23) и (14.24) для были получены в предположении, что только один из резонаторов дает положительный отсчет. Эти выражения, однако, действительны в случае, когда мы получаем положительных отсчетов, если мы потребуем, чтобы вероятность того, что все они истинны, равнялась 1/2. Это, как и ранее, означает, что, поскольку мы ограничиваемся флуктуациями, мы должны приравнять 1/2 вероятность того, что все резонаторов имеют энергию ниже . Таким образом, все предыдущие выражения для сохраняют силу. Нужно, однако, видоизменить выражение (14.25) для увеличения энтропии, так как теперь термостатом должна быть поглощена

энергия . Итак,

или, если учесть неопределенность отрицательных отсчетов.

В этом рассуждении использована лишь небольшая часть таблицы 14.1. В других задачах, например, когда лишь некоторая доля положительных отсчетов считается истинной, понадобятся другие из приведенных вероятностей.

Иные соотношения получаются в случае высоких частот. Одного-единственного кванта на каждый резонатор достаточно для надежного наблюдения, что и представляет, очевидно, необходимый минимум энергии. Эти частоты практически не встречаются в излучении черного тела. Поэтому мы берем

Суммируя результаты, мы видим, что эксперимент, требующий n одновременных наблюдений над n резонаторами, находящимися в термостате, соответствует увеличению энтропии на

для каждого резонатора, энергия которого превосходит причем

Промежуточный случай должен исследоваться отдельно для каждой частной задачи.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление