Главная > Математика > Курс высшей математики, Т.1
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

102. Площадь сектора.

Площадь сектора, ограниченная кривой, уравнение которой в полярных координатах есть

и двумя радиусами-векторами

проведенными из полюса под углами а и к полярной оси, выражается формулой

Для вывода формулы (9) разобьем рассматриваемую площадь (рис. 132) на малые элементы, разделив угол между радиусами-векторами (8) на частей.

Рис. 132.

Рассмотрим площадь одного из таких малых секторов, ограниченного лучами 0 и Обозначив через его площадь, через и М — наименьшее и наибольшее значения функции в промежутке мы видим, что заключается между площадями двух круговых секторов того же растворения но радиусов и М, т. е.

а потому, обозначив через Р некоторое число, лежащее между и можем написать

Так как непрерывная функция в промежутке принимает все значения между и МУ то в этом промежутке наверное найдется такое значение 0, при котором

а тогда

Если теперь будем увеличивать число элементарных секторов так, что наибольшее из значений стремится к нулю, и если вспомним сказанное в [87], то в пределе получим

что и требовалось доказать.

Заметим, что основная идея приведенного доказательства формулы (9) заключается в замене площади сектора площадью кругового сектора того же растворения и радиуса Приняв вместо точного выражения (10) приближенное:

где — любое значение из промежутка , для площади этого сектора мы получим в пределе тот же результат:

При таком выводе подынтегральное выражение в формуле (11) получает простой геометрический смысл: есть приближенное выражение площади элементарного сектора растворения и потому называется просто элементом площади в полярных координатах.

Рис. 133.

Рис. 134.

Пример. Найти площадь, ограниченную замкнутой кривой

Кривая эта, построение которой по точкам представляет никакого труда, изображена на рис. 133 и называется трилистником. Полная площадь, ею ограниченная, равна шестикратной площади заштрихованной части, соответствующей изменению 0 от и до так что по формуле (9) имеем

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление