Главная > Математика > Курс высшей математики, Т.1
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

104. Вычисление объемов тел по их поперечным сечениям.

Вычисление объема данного тела сводится также к вычислению определенного интеграла, если мы умеем определять площадь поперечных сечений тела, перпендикулярных данному направлению.

Рис. 136.

Обозначим через V объем данного тела (рис. 136) и допустим, Что нам известны площади всех поперечных сечений тела плоскостями, перпендикулярными данному направлению, которое мы примем за ось ОХ.

Всякое поперечное сечение определится абсциссой точки пересечения его с осью а потому площадь этого поперечного сечения будет функцией от которую мы обозначим через и будем считать известной.

Пусть, далее, а и b означают абсциссы крайних сечений тела. Для вычисления объема V разобьем его на элементы рядом поперечных сечений, начиная от и кончая рассмотрим один из таких элементов А V, образованный сечениями с абсциссами Заменяем объем. А V объемом прямого цилиндра, высота которого равна а основание совпадает с поперечным сечением нашего тела, соответствующим абсциссе х (рис. 137).

Рис. 137.

Объем такого цилиндра выразится произведением и, таким образом, мы получим следующее приближенное выражение для нашего объема V:

где суммирование распространено на все те элементы, на которые разбито наше тело поперечными сечениями. В пределе, когда число элементов беспредельно возрастает и наибольшее из стремится к нулю, написанная сумма превращается в определенный интеграл, который и дает точное значение объема V, что приводит к следующему предложению.

Рис. 138.

Если для данного тела известны все его поперечные сечения плоскостями, перпендикулярными некоторому данному направлению, принятому за ось ОХ, то тела V выражается формулой

где означает площади поперечного сечения с абсциссой х, а и b — абсциссы крайних сечений тела.

Пример. Объем цилиндрического отрезка, отсекаемый от прямого кругового полуцилиндра плоскостью, проведенной через диаметр его основания (рис. 138). Примем диаметр АВ за ось точку А — за начало координат; обозначим радиус основания цилиндра через , угол, образуемый верхним сечением отрезка с его основанием, через а.

Поперечное сечение, перпендикулярное диаметру имеет вид прямоугольного треугольника и его площадь выражается формулой

Далее, по известному свойству окружности, отрезок PQ есть среднее геометрическое между отрезками АР, РВ диаметра АВ, а потому

и окончательно

Применяя формулу (23), для искомого объема V получим

если ввести „высоту" отрезка .

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление