Главная > Математика > Курс высшей математики, Т.1
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

106. Поверхность тела вращения.

Площадью поверхности, получаемой при вращении кривой в плоскости ХО У вокруг оси ОХ, называется предел, к которому стремится площадь поверхности, получаемой при вращении вокруг той же оси ломаной, вписанной в данную кривую, когда число сторон этой ломаной беспредельно увеличивается, а наибольшая из длин сторон стремится к нулю (рис. 141). Если вращается часть кривой, заключенная между точками А и В, то поверхность F тела вращения выражается формулой (В)

где дифференциал дуги данной кривой, т. е.

Рис. 141

В этой формуле кривая может быть задана как угодно, в явной или в параметрической форме; символы (А) и (В) показывают, что нужно интегрировать между теми пределами для независимой переменной, которые соответствуют данным точкам кривой А и В.

Будем считать, что уравнение кривой задано в параметрической форме, причем роль параметра играет длина дуги S кривой, отсчитываемая от точки А, и обозначим через длину всей кривой АВ. Эта кривая, конечно, считается спрямляемой. Мы имеем: Разобьем, как всегда, промежуток (0, l) изменения s на частичные промежутки

Пусть значению соответствует точка кривой, причем, очевидно, совпадает с А и . Обозначим через длину отрезка через длину дуги и положим

Используя формулу для поверхности усеченного конуса, находим следующую формулу для поверхности, получаемой от вращения ломаной

ИЛИ

Пусть b — наибольшее из абсолютных значений . В силу равномерной непрерывности функции в промежутке 0 величина b стремится к нулю, если наибольшая из разностей стремится к нулю. Но мы имеем

откуда следует, что второе слагаемое в выражении Q стремится к нулю. Исследуем первое слагаемое, для чего перепишем его в виде

Покажем, что вычитаемое в этом выражении стремится к нулю. Для этого заметим, что непрерывная в промежутке функция ограничена, и, следовательно, существует такое положительное число , что при всех и Поэтому

Но если наибольшая из разностей — стремится к нулю, то и наибольшая из длин хорд стремится к нулю, и периметр вписанной ломаной стремится к длине дуги

откуда

Таким образом, в выражении Q остается исследовать лишь слагаемое

Но предел этой суммы и приводит нас к интегралу (27). Таким образом, мы и получаем эту формулу. Если кривая задана параметрически через любой параметр t, то мы имеем [ср. 103]

и в случае явного уравнения линии АВ:

Пример. Поверхность эллипсоида вращения, удлиненного и сжатого. Рассмотрим сперва поверхность удлиненного эллипсоида вращения. Применяя обозначения примера [105], по формуле (28) имеем

Из уравнения эллипса мы имеем:

откуда

Вводя сюда выражение для эксцентриситета эллипса

имеем (см. пример [99])

Интегрируя по частям, имеем пример 11 [92])

откуда

и окончательно

Эта формула годится в пределе и для , т. е. когда , и эллипсоид превращается в шар радиуса а. В скобках при этом оказывается неопределенное выражение, раскрывая которое [65], имеем

Перейдем теперь к сжатому эллипсоиду вращения. Переставив между собой буквы х и у, а и b, мы находим:

где х считается функцией от у. Но из уравнения эллипса имеем

откуда

и окончательно

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление