Главная > Математика > Курс высшей математики, Т.1
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

ГЛАВА IV. РЯДЫ И ИХ ПРИЛОЖЕНИЯ К ПРИБЛИЖЕННЫМ ВЫЧИСЛЕНИЯМ

§ 12. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ ИЗ ТЕОРИИ БЕСКОНЕЧНЫХ РЯДОВ

118. Понятие о бесконечном ряде.

Пусть дана бесконечная последовательность чисел

Составив сумму первых членов последовательности

мы получим, таким образом, другую бесконечную последовательность чисел

Если эта последовательность стремится к пределу (конечному):

говорят, что бесконечный ряд

сходится и имеет сумму s, и пишут:

Если же не стремится к пределу, то говорят, что бесконечный ряд (3) расходится.

Иначе говоря, бесконечный ряд (3) называется сходящимся, если сумма его первых слагаемых при беспредельном возрастании по всем целым положительным значениям стремигтся к пределу, и этот предел называется суммою ряда.

О сумме бесконечного ряда можно говорить только тогда, когда он сходится, и тогда сумма первых членов ряда является приближенным выражением для суммы ряда s. Погрешность этого приближенного выражения, т. е. разность

называется остатком ряда.

Очевидно, что остаток есть в свою очередь сумма бесконечного ряда, который получается из данного ряда (1), если в нем отбросить первые членов с начала:

Точная величина этого остатка в большинстве случаев остается неизвестной, и потому особенно важной является приближенная оценка этого остатка.

Простейший пример бесконечного ряда представляет геометрическая прогрессия

Рассмотрим отдельно случаи

Мы знаем что при геометрическая прогрессия имеет а конечную сумму и потому оказывается сходящимся рядом; действительно, при этом

и при так как при . При из выражения видно, что при так как при . При мы имеем и, очевидно, также так что при и геометрическая прогрессия оказывается расходящимся рядом. При мы получаем ряд

Сумма первых его членов равна нулю, если четное, и равна а, если нечетное, т. е. не стремится к пределу, и ряд расходится; однако при всех значениях эта сумма в отличие от предыдущего случая остается ограниченной, так как принимает только значения 0 и а.

Если абсолютная величина суммы первых членов ряда (3) — стремится к бесконечности при беспредельном возрастании , то ряд (3) называется собственно расходящимся.

В дальнейшем, говоря о собственно расходящемся ряде, мы для краткости будем говорить просто расходящийся ряд.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление