Главная > Математика > Курс высшей математики, Т.1
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

129. Разложение exp(x).

Прежде всего мы имеем

а потому

и формула Маклорена с остаточным членом (14) дает

Мы видели (пример [121]), что ряд

есть абсолютно сходящийся при всех конечных значениях х, а потому при всяком имеем

так как это выражение есть общий член сходящегося ряда. С другой стороны, множитель в выражении остаточного члена, наверно, не превосходит при и единицы при , а потому остаточный член стремится к нулю при всех значениях и мы получим разложение

которое имеет место при всех значениях

В частности, при получаем выражение для , весьма удобное для вычисления с любой степенью точности

Пользуясь этой формулой, вычислим число с шестью десятичными знаками. Если мы приближенно положим

то ошибка будет

причем знак поставлен потому, что в знаменателе дробей множители меньшим числом отчего все дроби увеличились.

Можно поэтому указать следующие пределы, между которыми заключается число :

Если желаем получить для приближенное значение, отличающееся от истинного не более, чем на 0,000 001, положим тогда

и ошибка не превзойдет . В этой формуле первые два слагаемых вычисляются точно; остальные восемь слагаемых нужно вычислить с семью знаками, так как при этом ошибка каждого слагаемого не больше 0,5 единицы седьмого знака, т. е. а вся ошибка не больше

т. е. четырех единиц седьмого знака, а потому общая ошибка по абсолютному значению не будет превышать . Мы имеем

Значение с 12 знаками есть 2,718 281 828 459.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление