Главная > Математика > Курс высшей математики, Т.1
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

138. Умножение абсолютно сходящихся рядов.

При перемножении двух абсолютно сходящихся бесконечных рядов можно применять правило умножения конечных сумм: произведение равно сумме ряда, который получим, если каждый член одного ряда умножим на каждый член другого и полученные произведения сложим. Порядок слагаемых здесь безразличен, так как построенный таким путем ряд будет также абсолютно сходящимся.

Данные абсолютно сходящиеся ряды пусть будут

Рассмотрим сперва частный случай, когда оба они с положительными членами и притом когда само умножение совершается следующим порядком:

Покажем, прежде всего, что ряд (5), все члены которого также положительны, сходится, а затем уже, что его сумма S равна .

Обозначим через сумму первых членов ряда (5). Можно всегда выбрать настолько большое число , чтобы все члены, входящие в состав , вошли и в произведение сумм:

т. е. чтобы оказалось , т. е.

(6)

так как , ото, откуда и следует сходимость ряда (5) (120].

Обозначив сумму ряда (5) через S, из неравенства (6), очевидно, имеем

Рассмотрим теперь произведение . При данном , очевидно, можно, найти настолько большое , чтобы все члены, входящие в состав произведения сумм , вошли в сумму ; мы получим тогда

а потому и в пределе, ,

Неравенство это в соединении с (6) дает , что и требовалось доказать.

Пусть теперь ряды (4) — абсолютно сходящиеся, но с какими угодно членами. Следовательно, сходятся ряды с положительными членами

а потому, в силу только что доказанного, сходится и ряд

Отсюда видно, что составленный по предыдущему правилу ряд (5) будет в этом случае абсолютно сходящимся. Обозначим теперь через

соответственно положительные члены рядов (4) и абсолютные значения отрицательных членов. Мы знаем (замечание [137]), что ряды, составленные из этих членов, сходятся; положим

Как известно [137], мы имеем

Как показано, ряды (8) с положительными членами можно почленно перемножать между собой; сумма произведений рядов

содержит как раз те и только те члены, которые входят в ряд (5), а потому имеем

что и требовалось доказать.

Пример. Ряд

сходится абсолютно при , а потому

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление