Главная > Математика > Курс высшей математики, Т.1
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

13. Приращение. Основное свойство линейной функции.

Установим одно новое важное понятие, с которым часто приходится иметь дело при исследовании функциональной зависимости.

Приращением независимой переменной величины при переходе от начального значения к конечному называется разность между конечным и начальным значениями: Соответствующим приращением функции называется разность между конечным и начальным значениями функции:

Эти приращения часто обозначают так:

Заметим при этом, что приращение может быть как положительной, так и отрицательной величиной, так что величина, получив «приращение», не обязательно должна увеличиться.

Обратим внимание на то, что запись надо рассматривать как единое целое для обозначения приращения

Обратимся к случаю линейной функции:

Вычитая почленно, получим

или

Равенство это показывает, что линейная функция обладает тем свойством, что приращение функции порционалъно приращению независимой переменной причем коэффициент пропорциональности равен а, т. е. угловому коэффициенту, или уклону графика функции.

Рис. 8.

Если мы обратимся к самому графику (рис. 8), то приращению независимой переменной соответствует отрезок МХР и приращению функции — отрезок и формула (4) непосредственно вытекает из рассмотрения треугольника .

Положим теперь, что некоторая функция обладает указанным выше свойством пропорциональности приращений независимой переменной и функции, выражаемым формулой (4). Из этой формулы следует

или

Будем считать исходные значения переменных вполне определенными и обозначим разность одной буквой b:

Так как окончательные значения переменных мы можем брать любыми, то вместо букв можно просто писать буквы х и у, и предыдущее равенство перепишется в виде

т. е. всякая функция, обладающая указанным выше свойством пропорциональности приращений, есть линейная функция причем а есть коэффициент пропорциональности.

Итак, линейная функция и график ее, прямая линия, могут служить для изображения всякого закона природы, в котором имеет место пропорциональность между приращениями исследуемых величин, что случается весьма часто.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление