Главная > Математика > Курс высшей математики, Т.1
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

147. Признаки равномерной сходимости.

Укажем некоторые достаточные условия равномерной сходимости.

Ряд функций, определенных в промежутке

сходится равномерно в промежутке если выполнено одно из следующих условий:

(А) Можно найти последовательность положительных постоянных

таких, что

и ряд

сходящийся (признак Вейерштрасса).

(Б) Функции могут быть представлены в виде

где суть постоянные, такие, что ряд

сходится; функции же все неотрицательны, остаются меньше постоянного положительного числа М и при каждом значении в промежутке

(признак Абеля).

Доказательство (А). Так как ряд (60) сходится, то при данном можно найти такое число N, чтобы при всех и при всех мы имели

в силу же неравенств (59) и

откуда [143] и вытекает равномерная сходимость ряда (55). Доказательство (Б). Положим

откуда непосредственно следует

Оценим выражение

Подставляя вместо их выражения через и собирая члены с одинаковыми , получим

Принимая во внимание, что и все разности по условию неотрицательны, можем написать

или, обозначая через а наибольшее из абсолютных значений

получаем, производя сокращения,

Из определения и сходимости ряда (62) вытекает, что для любого заданного положительного существует такое N, что при и всяком мы имеем

Принимая во внимание еще, что по условию , получаем в силу (64),

при и любом . Так как N не зависит от то отсюда и вытекает равномерная сходимость ряда (55) в промежутке

Примеры.

1. Ряды

сходятся равномерно во всяком промежутке, так как при всяком имеем:

и ряд при сходящийся [122] (признак Вейерштрасса).

2. Если ряд сходится, то и ряд

равномерно сходится в промежутке при любом l, так как, положив здесь

удовлетворим всем условиям признака Абеля.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление