Главная > Математика > Курс высшей математики, Т.1
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

ГЛАВА V. ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ

§ 15. ПРОИЗВОДНЫЕ И ДИФФЕРЕНЦИАЛЫ ФУНКЦИИ

151. Основные понятия.

В § 6 главы II, посвященном функциям двух переменных, мы начали с изложения основных понятий, касающихся таких функций. Сейчас мы будем говорить о функциях многих переменных и, кроме того, более подробно остановимся на понятии предела.

Функцию мы считаем определенной или на всей плоскости или в некоторой области. Таким образом, всякой точке из этой области соответствует определенное значение Если рассматриваются только внутренние точки области, то такая область называется открытой. Если к области причисляется ее контур, то область называется замкнутой.

Аналогичным образом, если ввести прямолинейную, прямоугольную систему координат ОХ, в пространстве, то, вместо тройки чисел (х, у, z) мы можем говорить о точке М пространства с координатами (х, у, z). Будем считать, что функция f(x, у, z) определена во всем пространстве или в некоторой области пространства, которая может быть открытой или замкнутой. В наиболее простых случаях границами области (их может быть и несколько) будут некоторые поверхности. Так, например, неравенства

определяют замкнутый прямоугольный параллелепипед, ребра которого параллельны координатным осям. Неравенства

определяют открытый параллелепипед. Неравенство

определяет замкнутую сферу с центром и радиусом . Если исключить знак равенства и оставить только знак то получится открытая сфера.

Понятие предела и непрерывности для функции трех переменных определяют совершенно так же, как и [67] для двух переменных.

Для функций многих переменных при уже теряется геометрическая наглядность пространства, однако и в этом случае часто сохраняют геометрическую терминологию. Последовательность вещественных чисел называют точкой. Множество всех точек образует -мерное пространство. Области такого пространства определяются неравенствами. Так, например, неравенства

определяют -мерный параллелепипед или, как иногда говорят, -мерный промежуток. Неравенство

определяет -мерный шар. Окрестностью точки называется множество точек, определенных последним неравенством при некотором выборе или неравенствами — где — некоторое положительное число.

Если функция определена в окрестности точки то говорят, что стремится к пределу А при стремлении точки к точке и пишут

если для любого заданного положительного числа 8 существует такое положительное что если только при причем считается, что точка не совпадает с Если определена и в точке то непрерывность в этой точке определяется равенством

Справедливы указанные в [67] свойства функции, непрерывной в замкнутой области.

Как в случае функции одного переменного [34], справедливы утверждения о непрерывности суммы, произведения и частного непрерывных функций. Последнее в том случае, когда знаменатель отличен от нуля в точке

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление