Главная > Математика > Курс высшей математики, Т.1
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

162. Необходимые условия максимума и минимума функции.

Пусть функция f(x, у) непрерывна в точке и некоторой ее окрестности. Аналогично случаю одной независимой переменной мы будем говорить, что функция двух независимых переменных достигает максимума в точке если значение не меньше всех смежных значений функции, т. е. если

при всех h и k достаточно малых по абсолютной величине.

Точно так же мы будем говорить, что функция достигает минимума при если

при всех значениях h и k достаточно малых по абсолютной величине.

Итак, пусть значения независимых переменных, при которых функция достигает максимума или минимума. Рассмотрим функцию одной независимой переменной . По условию она должна достигать максимума или минимума при а потому ее производная по при должна или обращаться в нуль или же не существовать [58]. Таким же рассуждением убедимся, что и производная функция по у должна или обращаться в нуль или не существовать при Мы приходим, таким образом, к следующему необходимому условию существования максимума или минимума: функция двух независимых переменных может достигать максимума или минимума лишь при тех значениях при которых частные производные первого порядка и обращаются в нуль или не существуют.

Совершенно так же, меняя только или только мы можем, пользуясь сказанным в [58], утверждать, что при наличии производных второго порядка необходимым условием максимума являются неравенства -1 в и необходимым условием минимума — неравенства

Предыдущие рассуждения остаются в силе и в случае функции любого числа независимых переменных. Мы можем высказать, таким образом, следующее общее правило:

Функция нескольких независимых переменных может достигать максимума или минимума лишь при тех значениях независимых переменных, при которых частные производные первого порядка обращаются в нуль или не существуют. В дальнейшем мы ограничимся рассмотрением того случая, когда указанные частные производные существуют.

Дифференциал первого порядка равен сумме произведений частных производных по независимым переменным на дифференциалы соответствующих независимых переменных [153], и мы можем поэтому утверждать, что при значениях независимых переменных, при которых функция имеет максимум или минимум, ее дифференциал первого порядка должен обращаться в нуль. Эта форма необходимого условия удобна, потому что выражения первого дифференциала не зависят от выбора переменных [153]. Приравнивая нулю частные производные первого порядка, мы получаем систему уравнений, откуда определяются те значения независимых переменных, при которых функция может достигать максимума или минимума.

Для полного решения вопроса необходимо еще произвести исследование полученных значений для того, чтобы решить, достигает ли функция, действительно, при этих значениях независимых переменных максимума или минимума, а если достигает, то чего именно — максимума или минимума. В следующем номере мы покажем, как производится это исследование в случаях функции двух независимых переменных.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление