Главная > Математика > Курс высшей математики, Т.1
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

164. Примеры.

1. Рассмотрим поверхность Уравнение каса тельной плоскости к ней будет [160]:

где и q обозначают частные производные

Рис. 163.

Если при некоторых значениях функция z достигает максимума или минимума, то соответствующая точка называется вершиною поверхности: в такой точке касательная плоскость должна быть параллельна плоскости XY, т. е. частные производные и q должны обращаться в нуль, и поверхность должна быть расположена по одну сторону от касательной плоскости, вблизи точки касания (рис. 163). Но может случиться, что и q в некоторой точке обращаются в нуль, т. е. касательная плоскость параллельна плоскости ХY, но поверхность вблизи этой точки расположена по обе стороны от касательной плоскости, и в этом случае при соответствующих значениях х и у функция z не будет достигать ни максимума, ни минимума.

Укажем еще на одну возможность, которая может осуществиться в случае, названном нами в предыдущем сомнительным. Положим, что при касательная плоскость параллельна плоскости ХY, и поверхность расположена по одну сторону от касательной плоскости, но имеет с нею общую линию, проходящую через точку касания.

В этом случае разность

не меняя знака при достаточно малых по абсолютному значению h и будет обращаться в нуль при h или k, отличных от нуля. Нетрудно осуществить этот случай, представив себе, например, круговой цилиндр, ось которого параллельна плоскости XV. В этом случае также говорят, что функция имеет максимум или минимум при

Поверхность

есть гиперболический параболоид. Приравнивая нулю частные производные от z по х и у, получим и касательная плоскость к поверхности в начале координат будет совпадать с плоскостью XY. Составим частные производные второго порядка:

и, следовательно,

т. е. при функция z не достигает ни максимума, ни минимума, и вблизи начала координат поверхность расположена по обе стороны от касательной плоскости (рис. 164).

Рис. 164.

2. На плоскости даны точек . Требуется найти точку М такую, чтобы сумма произведений данных положительных чисел на квадраты расстояний ее до точек М достигала минимума. Пусть — координаты искомой точки М. Упомянутая выше сумма будет:

Приравнивая нулю частные производные получаем

Нетрудно проверить, что в рассматриваемом случае А и будут больше нуля, и, следовательно, найденным значениям х и у действительно будет соответствовать минимум w. Этот минимум является наименьшим значением w на плоскости ибо до при беспредельном удалении точки

Если - материальные точки и — их массы, то формула (12) определяет координаты центра тяжести системы точек

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление