Главная > Математика > Курс высшей математики, Т.1
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

16. Парабола второй степени.

Линейная функция

есть частный случай целой функции степени, или многочлена (полинома) n-й степени:

простейший случай которого после линейной функции есть трехчлен второй степени

график этой функции называется параболой второй степени или просто параболой.

Пока мы будем исследовать лишь простейший случай параболы:

Кривая эта без труда может быть построена по точкам. На рис. 13 изображены кривые Кривая, соответствующая уравнению (5), расположена целиком над осью ОХ при и под осью ОХ при Ордината этой кривой возрастает по абсолютному значению, когда возрастает по абсолютному значению, и тем быстрее, чем больше абсолютная величина а.

На рис. 14 изображен ряд графиков функции (5) при различных значениях а, которые проставлены на чертеже при соответствующих этим значениям параболах.

Уравнение (5) содержит только , а потому не меняется при замене на , т. е. если некоторая точка лежит на параболе (5), то и точка (-х, у) лежит на той же параболе.

Рис. 13.

Рис. 14.

Две точки очевидно, симметричны относительно оси О У, т. е. одна из них является зеркальным изображением другой относительно этой оси. Таким образом, если повернуть правую часть плоскости на 180° вокруг оси ОУ и совместить ее с левой частью, то часть параболы, лежащая справа от оси О К, совпадает с частью параболы, лежащей слева от этой оси. Иначе говоря, ось ОУ есть ось симметрии параболы (5).

Начало координат оказывается самой низкой точкой кривой при а > 0 и самой высокой при а < 0 и называется вершиной параболы.

Коэффициент а вполне определяется, если задать одну точку параболы, отличную от вершины, так как тогда имеем

после его уравнение параболы (5) примет вид

Существует весьма простой графический способ построения какого угодно числа точек параболы при заданных вершине, оси симметрии и любой ее точке отличной от вершины.

Абсциссу и ординату данной точки Делим на равных частей (рис. 15) и через начало координат проводим лучи к точкам деления ординаты.

Рис. 15.

Рис. 16.

Пересечение этих лучей с прямыми, проведенными через точки деления абсциссы параллельно оси OY, и дает точки параболы. Действительно, по построению мы имеем (рис. 15):

т. е. на основании (6) точка также лежит на параболе. Доказательство для других точек аналогично.

Если имеются две функции:

и соответствующие им графики, то координаты точек пересечения этих графиков удовлетворяют обоим написанным уравнениям, т. е. абсциссы этих точек пересечения суть решения уравнения

Указанное обстоятельство легко использовать для приближенного решения квадратного уравнения. Построив на отдельном листе миллиметровой бумаги, по возможности точнее, график параболы

мы можем рассматривать корни квадратного уравнения

как абсциссы точек пересечения параболы и прямой так что решение уравнения (7) сводится к нахождению на чертеже упомянутых точек пересечения.

На рис. 16 изображены три случая, когда таких точек будет две, одна (касание прямой с параболой) и ни одной.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление