Главная > Математика > Курс высшей математики, Т.1
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

174. Возвышение в степень.

Применяя формулу (6) в случае равных сомножителей, получаем правило возвышения комплексного числа в целую положительную степень

т. e. для возвышения комплексного числа в целую положительную степень нужно его модуль возвысить в эту степень и аргумент умножить на показатель степени.

Полагая в формуле (11) получаем формулу Моавра

Примеры. 1. Разлагая левую часть равенства (12) по формуле бинома Ньютона и приравнивая вещественные и мнимые части согласно условию (2), получим выражения для через степени

В частности, при формула (12) после раскрытия скобок будет иметь вид

откуда

2. Просуммируем выражения

Положим

и составим комплексное число

Пользуемся равенством (11) и формулой для суммы геометрической прогрессии

Умножая числитель и знаменатель последней дроби на величину , сопряженную со знаменателем, получим

Приравнивая вещественные и мнимые части согласно условию (2), будем иметь

Считая, что абсолютное значение вещественного числа меньше единицы, и беспредельно увеличивая , получим в пределе суммы бесконечных рядов

В выражениях положим тогда получим

Аналогичным образом получим

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление