Главная > Математика > Курс высшей математики, Т.1
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

176. Показательная функция.

Мы рассматривали раньше показательную функцию в случае вещественного показателя Обобщим теперь понятие о показательной функции на случай любого комплексного показателя. При вещественном показателе функция может быть представлена в виде ряда [129]

Определим аналогичным рядом показательную функцию и в случае чисто мнимого показателя, т. е. положим

Отделяя вещественные и мнимые члены, имеем отсюда

откуда, вспомнив разложения в ряд [130], получаем

Эта формула и определяет показательную функцию при чисто мнимом показателе. Заменяя у на

и решая уравнения (18) и (19) относительно , получим формулы Эйлера, выражающие тригонометрические функции через показательные с чисто мнимым показателем:

Формула (18) дает новую показательную форму комплексного числа, имеющего модуль и аргумент

Показательную функцию при любом комплексном показателе определяем формулой

т. е. модуль числа ехуь будем считать равным а аргумент равным у.

Нетрудно обобщить на случай комплексных показателей правило сложения показателей при умножении. Пусть

или, применяя правило умножения комплексных чисел [172],

Но выражение, стоящее в правой части этого равенства, согласно определению (21), представляет собою

Правило вычитания показателей при делении

может быть непосредственно проверено путем умножения частного на делитель.

В случае целого положительного будем иметь

Пользуясь формулами Эйлера, мы сможем выразить любую целую положительную степень , а также и произведение таковых степеней, в виде суммы членов, содержащих лишь первые степени синуса или косинуса кратных дуг:

Разложив правые части этих равенств по формуле бинома Ньютона, перемножив их и приведя в полученных разложениях показательные функции к тригонометрическим, согласно формулам (18) и (19), мы получаем искомое выражение.

Примеры. 1.

Заметим при этом, что любая целая степень и четная степень представляют собою четные функции , т. е. не меняют своей величины при замене на и выражение таких четных функций будет содержать лишь косинусы кратных дуг. Если же функция есть нечетная функция , т. е. если эта функция меняет знак при замене на как это будет иметь, например, место в случае нечетной степени то разложение такой функции будет содержать лишь синусы кратных дуг, и свободный член в этом разложении будет наверное отсутствовать. Все эти обстоятельства будут нами выяснены более подробно при изложении тригонометрических рядов.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление