Главная > Математика > Курс высшей математики, Т.1
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

177. Тригонометрические и гиперболические функции.

До сих пор мы рассматривали тригонометрические функции лишь в случае вещественного аргумента. Определим тригонометрические функции при любом комплексном аргументе z по формулам Эйлера:

причем выражения, стоящие справа, при любом комплексном z имеют смысл, указанный в [176]. Пользуясь этими формулами и основными свойствами показательной функции, нетрудно проверить справедливасть формул тригонометрии в случае комплексного аргумента.

Предлагаем читателю в качестве упражнения доказать, например, соотношения

Функцни определяются по формулам

Введем теперь гиперболические функции. Гиперболические синус и косинус определяются по формулам

Пользуясь этими формулами, нетрудно проверить, например, следующие соотношения:

Таким образом возникает гиперболическая тригонометрия с формулами, аналогичными формулам обычной тригонометрии круга. Заменяя в формуле обычной тригонометрии на на , получим аналогичную формулу гиперболической тригонометрии. Это обстоятельство вытекает непосредственно из формул, определяющих гиперболические функции,

Пользуясь этим указанием, нетрудно получить следующие формулы приведения суммы гиперболических функций к логарифмическому виду:

Рассмотрим теперь гиперболические функции при вещественных значениях аргумента:

Рис. 171.

График функции представляет собой цепную линию [78], к более подробному изучению которой мы перейдем в [178]. Графики функций изображены на рис. 171.

Непосредственно дифференцируя, получаем следующие выражения производных:

Отсюда получаем таблицу интегралов:

Самое название „гиперболические функциив произошло вследствие того, что функции играют ту же роль для параметрического представления равнобочной гиперболы

какую функции для окружности

Параметрическое представление окружности есть

равнобочной же гиперболы

как в этом нетрудно убедиться при помощи соотношения

Геометрическое значение параметра t в обоих случаях, окружности и гиперболы, также одинаково.

Рис. 172.

Рис. 173.

Если мы обозначим через S площадь сектора АОМ (рис. 172), а через площадь всего круга , то, очевидно,

Пусть теперь обозначает площадь аналогичного сектора равнобочной гиперболы (рис. 173). Мы имеем

Вычисляя интеграл по формуле из [92], находим:

Если теперь, обозначая опять через площадь круга, положим

то найдем без труда

откуда, складывая почленно и умножая на у:

т. е. мы и получаем параметрическое представление равнобочной гиперболы.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление