Главная > Математика > Курс высшей математики, Т.1
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

178. Цепная линия.

Исследуем кривую провисания гибкой однородной тяжелой нити, подвешенной на концах (рис. 174).

В плоскости этой кривой направим ось ОХ горизонтально, ось ОY вертикально вверх. Выделим элементы нити. На каждый из них действуют натяжения от оставшихся частей нити и вес элемента. Натяжения приложены в концах М и , элемента и направлены по касательным (причем Т — по отрицательному, по положительному направлению касательной). Вес мы можем принять пропорциональным длине элемента

где — линейная плотность нити (вес погонной единицы длины).

Для равновесия необходимо и достаточно, чтобы равнялась нулю сумма проекций действующих на элемент сил как на горизонтальное, так и на вертикальное направление. Так как проекция веса элемента на горизонтальное направление равна нулю, то горизонтальные составляющие сил должны быть равны по величине и противоположны по знаку. Обозначим через общую величину их горизонтальной составляющей.

Далее, из чертежа мы получаем для вертикальных составляющих натяжений соответственно выражения

Здесь прирост угла а, образованного касательной с осью ОХ, при перемещении из точки М в точку соответствующее приращение углового коэффициента касательной, т. е. величины

Рис. 174.

Приравнивая нулю сумму проекций и силы веса на ось О К, получим

то

что можно написать так:

Переменные здесь разделяются [93]:

заметим, что k есть постоянная, прямо пропорциональная горизонтальной составляющей натяжения и обратно пропорциональная линейной пдотноста нити. Интегрируем полученное уравнение

откуда

чтобы определить у, введем обратную величину

Вычитая почленно это равенство из предыдущего, находим

Интегрируя еще раз, получим уравнение искомой кривой нити

Произвольные постоянные определяются из условия, что кривая проходит через точки Однако в приложениях наибольший интерес представляет не само уравнение кривой провисания, т. е. постоянные а соотношение между горизонтальным и вертикальным расстояниями точек подвеса и длиной дуги .

При исследовании зависимости между этими тремя величинами мы можем, конечно, совершить параллельный перенос координатных осей. Поместив начало в точку мы можем считать, что в уравнении и это уравнение заменится более простым

откуда ясно, что кривая провисания есть цепная линия.

Пусть при указанном выборе координатных осей точка подвеса имеет координаты координаты Обозначив через , s горизонтальное и вертикальное расстояния точек подвеса и длину нити, будем иметь

По формулам (24) находим

откуда на основании первого из соотношений (23)

что и дает искомую зависимость между и s. Ее можно переписать в следующей форме:

Если точки подвеса и длина нити заданы, то величины и s известны и мы получаем уравнение для определения параметра k, или если линейная плотность нити также известна, то уравнение (27) может служить для определения горизонтальной составляющей натяжения Положим для сокращения письма:

Уравнение (27) превратится в

Вспомнив разложение показательной функции в степенной ряд [129], найдем

откуда видно, что при возрастании g от 0 до отношение также постоянно возрастает от 1 до . Стало быть, при всяком заданном значении с 1 уравнение имеет один положительный корень, который можно вычислить, пользуясь таблицами гиперболических функций. Данные величины и s должны при этом удовлетворять условию

которое очевидно и из геометрических соображений, так как есть хорда дуга цепной линии между теми же точками.

Рис. 175.

Пусть, например,

мы получим

и по таблицам гиперболических функций найдем корень уравнения (274);

откуда

Пусть точки подвеса находятся на одинаковой высоте. Исследуем стрелу провисания нити

Разлагая показательную функцию в ряд, получим

Точно так же будем иметь для [формула (27) при ]:

Ограничиваясь в ряде (28) одним слагаемым, определим приближенно

В разложении (29) удержим первые два слагаемых и подставим найденное для k выражение

Дифференцируя это соотношение, получим зависимость между удлинением нити и увеличением стрелы провисания:

Уравнение (25) было нами получено в предположении, что на всякий элемент нити действует сила тяжести, пропорциональная длине элемента. В некоторых случаях, например при рассмотрении цепей висячих мостов, эту силу тяжести надо считать пропорциональной длине не самого элемента, но его проекции на горизонтальную ось.

Рис. 176.

Это случится тогда, когда нагрузка от настила моста настолько велика по сравнению с собственным весом цепи, что последней можно пренебречь. В этом случае вместо уравнения (25) будем иметь

откуда

и

т. е. кривая провисания будет параболой.

Положим, что концы нити находятся на одинаковой высоте, и поместим начало координат в вершину параболы (рис, 176), так что уравнение ее будет

Как и выше, определим длину пролета и стрелу прогиба . Из уравнения параболы получим

Вычислим длину дуги равную удвоенной дуге

По формуле бинома Ньютона имеем

и, интегрируя, находим разложение для

Подставим вместо а найденное выше его выражение:

где Ограничиваясь в написанном разложении двумя первыми слагаемыми, получим приближенную формулу

совпадающую с аналогичной формулой для цепной линии.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление