Главная > Математика > Курс высшей математики, Т.1
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

181. Примеры.

1. Рассмотрим цепь переменного тока, в которую введены последовательно: сопротивление R, самоиндукция L и емкость С. Обозначив через v напряжение и через силу тока, будем иметь известное из физики соотношение:

Ограничимся пока только явлениями установившимися и притом тем случаем, когда и напряжение и сила тока оказываются синусоидальными величинами одного и того же периода. Предыдущее уравнение можно переписать в векторной форме, введя вместо v и j векторы напряжения и тока v и

вспомнив формулы (34) и (35), находим отсюда

где

Полученная зависимость между векторами напряжения и тока имеет вид обычного закона Ома с тою только разницей, что вместо омического сопротивления здесь входит комплексный множитель С, который называется кажущимся сопротивлением цепи и состоит из суммы трех „сопротивлений": омического (R), сопротивления от самоиндукции и сопротивления от емкости

Формула (36) дает вместе с тем разложение вектора v на две составляющие: — по направлению по направлению, перпендикулярному к j. Первая называется ваттной, вторая — безваттной составляющими напряжения. Эти термины станут ясными, если мы вычислим среднюю мощность W тока нашей цепи, которая определяется как среднее арифметическое по всему периоду от мгновенной мощности

означает здесь фазу напряжения, фазу тока, так что

Без труда находим

Таким образом, наибольшая по абсолютному значению средняя мощность получается, когда фазы напряжения и тока совпадают или отличаются на наименьшая, равная нулю, мощность получается, когда эти фазы отличаются на

При составлении этого выражения W безваттная составляющая вектора v дает среднюю мощность, равную нулю, ибо вектор перпендикулярен вектору j, т. е. для него и вся средняя мощность, которая переходит в джоулево тепло, получается лишь от ваттной („рабочей) составляющей.

Соотношение (36) можно переписать в виде

или

Комплексный множитель называется кажущейся проводимостью цепи, он равен обратной величине кажущегося сопротивления. Предыдущая же формула дает разложение вектора тока на ваттную и безваттную составляющие (по направлению v и перпендикулярно к нему).

2. Основные правила для вычисления сопротивления сложной цепи постоянного тока, в которую включены сопротивления последовательно или параллельно, правила, которые выводятся из законов Ома и Кирхгофа, остаются в силе и для цепей с переменным установившимся синусоидальным током, если только условимся мгновенные значения напряжения и тока заменить соответствующими векторами, а омические сопротивления — кажущимися.

Так, если в цепь включены последовательно кажущиеся сопротивления

то векторы напряжения и тока будут связаны соотношениями:

т. е. при последовательном включении кажущиеся сопротивления складываются.

Наоборот, если те же сопротивления включены параллельно, то мы полним соотношение

т. е. при параллельном включении складываются кажущиеся проводимости.

Графически построение полного кажущегося сопротивления при последовательном включении кажущихся сопротивлений сводится просто к построению геометрической суммы векторов, изображающих эти комплексные числа.

Укажем построение в случае параллельного включения двух кажущихся сопротивлений и . Мы имеем по предыдущему правилу

Положив

мы будем иметь

Это приводит нас к следующему геометрическому построению (рис. 178). Находим прежде всего сумму затем строим ДЛОД подобный , для чего поворачиваем в положение СОВ и проводим прямую .

Из подобия треугольников выводим:

что и требовалось доказать.

3. Рассмотрим связанные колебания двух цепей, находящихся в магнитном соединении (рис. 179).

Рис. 178.

Рис. 179.

Пусть означают внешнюю электродвижущую силу и силу тока в цепи силу тока в цепи II (без внешней электродвижущей силы); соответственно: сопротивления, коэффициенты самоиндукции и емкости этих цепей, М — коэффициенты взаимной индукции цепей I и II.

Имеем соотношения

Если рассматривать установившийся процесс, в котором напряжение и ток меняются по синусоидальному закону одинаковой частоты, то эти уравнения можно переписать в векторной форме:

где - кажущиеся сопротивления цепей I и II, если они взяты сами по себе. Решая относительно получим без труда

Переписав первое уравнение в виде:

мы можем сказать, что наличие цепи II изменяет кажущееся сопротивление

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление