Главная > Математика > Курс высшей математики, Т.1
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

§ 18. ОСНОВНЫЕ СВОЙСТВА ЦЕЛЫХ МНОГОЧЛЕНОВ И ВЫЧИСЛЕНИЕ ИХ КОРНЕЙ

184. Алгебраическое уравнение.

В настоящем параграфе мы будем заниматься исследованием целого многочлена (полинома):

где данные комплексные числа и z — комплексная переменная, причем старший коэффициент мы можем считать отличным от нуля.

Основные действия с многочленами хорошо известны из элементарной алгебры. Мы напомним только основной результат, касающийся действия деления. два многочлена и степень не выше степени то представить в виде:

где также многочлены, причем степень ниже степени . Многочлены называются, соответственно, частным и остатком при делении на . Частное и остаток суть вполне определенные многочлены, так что представление в указанном выше виде через единственно.

Значения z, при подстановке которых многочлен обращается в нуль, называются корнями этого многочлена. Таким образом, корни суть решения уравнения

Написанное уравнение называется алгебраическим уравнением степени.

При делении на двучлен частное будет многочленом степени со старшим коэффициентом остаток же R не будет содержать z. По основному свойству деления имеет место тождество

Подставляя в это тождество получим

т. е. остаток, получаемый при делении многочлена , равен (теорема Безу).

В частности, для того чтобы многочлен делился на () без остатка, необходимо и достаточно условие

т. е. для того чтобы многочлен делился на двучлен (z — а) без остатка, необходимо и достаточно, чтобы было корнем этого многочлена.

Таким образом, зная корень многочлена мы можем выделить из этого многочлена множитель (z — а):

где

нахождение остальных корней приводит к решению уравнения

степени.

Для дальнейшего нам необходимо иметь ответ на следующий вопрос: имеет ли всякое алгебраическое уравнение корни? В случае неалгебраического уравнения ответ может быть отрицательным. Так, например, уравнение

вовсе корней не имеет, так как модуль левой части ни при одном значении в нуль не обращается. Но в случае алгебраического уравнения на поставленный выше вопрос имеется утвердительный ответ, который и заключается в следующей основной теореме алгебры: всякое алгебраическое уравнение имеет по крайней мере один корень.

Мы примем здесь эту теорему без доказательства. В третьем томе при изложении теории функций комплексной переменной мы дадим ее доказательство.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление