Главная > Математика > Курс высшей математики, Т.1
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

186. Кратные корни.

Среди чисел входящих в разложение (3), могут быть, как мы уже упоминали, и одинаковые.

Соединяя в разложении (3) одинаковые сомножители в одну группу, можем написать его в виде:

где числа различны и

Если в написанном таким образом разложении имеется множитель то корень называют корнем кратности и вообще корень многочлена ) называется корнем кратности если делится на и не делится на

Укажем теперь другой признак кратности корня. Для этого введем в рассмотрение формулу Тейлора. Заметим прежде всего, что можем определить производные от многочлена по тем же формулам, какие имели место при вещественной переменной:

Формула Тейлора

представляет собою элементарное алгебраическое тождество, содержащее буквы а и справедливое не только при вещественных, но и при комплексных значениях этих букв.

Выведем теперь условие того, чтобы было корнем кратности k. Перепишем (6) в виде:

Многочлен, стоящий во второй квадратной скобке, имеет степень ниже степени и отсюда видно [184], что первая квадратная скобка есть частное, а вторая — остаток при делении ) на

Для того чтобы делилось на необходимо и достаточно, чтобы этот остаток был равен тождественно нулю. Рассматривая его как многочлен относительно переменной (), получаем следующее условие:

К этому условию мы должны еще добавить условие

ибо если бы и , то делился бы не только на но и на . Итак, условия (7) и (8) являются необходимыми и достаточными условиями того, чтобы было корнем кратности k многочлена

Положим следовательно,

Если есть корень кратности k многочлена то, в силу (7) и (8):

т. е. z = а будет корнем кратности для или, что то же, для т. е. корень кратности k некоторого многочлена является корнем кратности для производной этого многочлена. Применяя последовательно это свойство, убедимся, что он будет корнем кратности (k — 2) для второй производной, корнем кратности (k — 3) для третьей производной и т. д. и, наконец, корнем первой кратности, или, как говорят, простым корнем для производной порядка.

Таким образом, если для имеет место разложение

то для будем иметь

где многочлен, не имеющий уже корней, общих с

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление