Главная > Математика > Курс высшей математики, Т.1
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

188. Общий наибольший делитель.

Рассмотрим два многочлена Каждый из них имеет определенное разложение на множители вида (3). Общим наибольшим делителем этих двух многочленов называется произведение всех двучленных множителей вида входящих как в разложение так и в разложение причем эти общие множители берутся с показателем степени, равным наименьшему из показателей, с которым они входят в разложения Постоянные множители при составлении общего наибольшего делителя никакой роли не играют. Таким образом, общий наибольший делитель двух многочленов есть многочлен, корни которого суть общие двум упомянутым многочленам корни с кратностью, равной наименьшей из тех двух кратностей, с которыми они входят в упомянутые многочлены. Если данные многочлены не имеют общих корней, то говорят, что они взаимно простые. Совершенно аналогично предыдущему можно определить и общий наибольший делитель нескольких многочленов.

Для составления общего наибольшего делителя указанным выше способом необходимо иметь разложение данных многочленов на множители первой степени. Но нахождение разложения (3) сводится к решению уравнения что и составляет одну из основных задач алгебры.

Можно, однако, подобно тому, как это делается в арифметике для общего наибольшего делителя целых чисел, указать другой способ отыскания общего наибольшего делителя, не требующий разложения на множители, — способ последовательного деления. Способ этот состоит в следующем. Положим, что степень не ниже степени . Первый многочлен делим на второй, затем второй многочлен делим на остаток, получаемый при первом делении, этот первый остаток делим на остаток, получаемый при втором делении, и т. д., пока не получится деление с остатком, равным нулю. Последний остаток, отличный от нуля, и является общим наибольшим делителем двух данных многочленов. Если этот остаток не содержит z, то данные многочлены будут взаимно простыми. Таким образом, нахождение общего наибольшего делителя сводится к делению многочленов, расположенных по убывающим степеням переменной. Разделив на мы получим взаимно простые многочлены. Один из них или оба могут не содержать

Сравнивая разложения (9) и (10), мы видим, что общий наибольший делитель многочлена и его производной будет

причем мы опускаем постоянный множитель, что является несущественным.

Разделив на получим

т. е. делении многочлена на общий наибольший делитель получается многочлен, имеющий все корни простые и совпадающие с различными корнями

Получение такого многочлена называется операцией освобождения многочлена от кратных корней. Мы видим, что для этого нет необходимости решать уравнение

Если взаимно простые, то f(z) имеет все корни простые и наоборот.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление