Главная > Математика > Курс высшей математики, Т.1
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

194. Способ Ньютона.

Процесс итерации, указанный на рис. 183 и 184, состоит в приближении к искомому корню по прямым, параллельным координатным осям. Мы укажем теперь другие процессы итерации, для которых применяются и прямые, наклонные к координатным осям. Одним из таких способов является способ Ньютона.

Рис. 187.

Рис. 188.

Пусть приближенные значения корня уравнения

и положим, что в промежутке это уравнение имеет один только корень . На рис. 187 и 188 изображен график кривой

Абсциссы точек N и Р суть приближенные значения корня , который является абсциссой точки А В точке проведена касательная к кривой, и из точки пересечения этой касательной с осью абсцисс проведена ордината кривой; в точке Q проведена касательная к кривой и из точки проведена ордината кривой и т. д.

Точки как видно из чертежа, стремятся к точке А, так что их абсциссы являются последовательными приближениями для корня . Выведем формулу, выражающую через

Уравнение касательной будет

Подставляя найдем абсциссу точки

и, вообще,

То обстоятельство, что действительно являются приближениями к корню , мы усмотрели просто из чертежа, который сделан для того случая, когда монотонна и остается выпуклой (или вогнутой) в промежутке другими словами, когда сохраняют знак в этом промежутке [57, 71]. На строгом аналитическом доказательстве этого мы останавливаться не будем.

Заметим, что если бы мы применили способ Ньютона не к концу а к концу то не получили бы приближения к корню, как это показывает проведенная пунктиром касательная. В случае рис. 188 кривая обращена вогнутостью в сторону положительных ординат, т. е. и способ Ньютона, как мы видим, надо применять к тому концу, где Из рис. 187 вытекает, что при способ Ньютона нацо применять к тому концу, где ордината Мы приходим, таким образом, к следующему правилу: если в промежутке не обращаются в нуль, а ординаты разных знаков, то, применяя способ Ньютона к тому концу промежутка, где знаки совпадают, получим последовательные приближения для единственного корня уравнения (36), заключающегося в промежутке

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление