Главная > Математика > Курс высшей математики, Т.1
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

195. Способ простого интерполирования.

Укажем еще один способ приближенного вычисления корня. Через концы N к Р дуги кривой проведем прямую. Абсцисса следа В этой прямой на оси абсцисс и даст приближенное значение корня (рис. 189). Пусть, как и раньше, абсциссы концов промежутка. Уравнение прямой NP будет

Рис. 189.

Полагая найдем выражение абсциссы точки В:

или

или

Замена участка кривой отрезком прямой, проходящей через конечные точки кривой, равносильна замене функции в исследуемом промежутке многочленом первой степени, имеющим те же конечные значения, что и или, что то же, равносильно предположению, что в указанном промежутке изменения пропорциональны изменениям х. Этот прием, называемый обычно простым интерполированием, применяется, например, при пользовании таблицами логарифмов (partes proportionales). Указанный нами прием вычисления корня называется также иногда правилом ложного положения (regula falsi).

Если применять одновременно как способ простого интерполирования, так и способ Ньютона, получается возможность оба предела приблизить к корню .

Положим, например, что на конце знаки совпадают, так что спосоо Ньютона надо применять именно к этому концу.

Рис. 190.

Применяя оба способа, получим два новых приближенных значения (рис. 190):

К приближенным значениям можно опять применить те же формулы и получим новые значения

Таким образом получим два ряда значений

приближающихся к корню слева и справа.

Если у значений совпадают несколько первых десятичных знаков, то у корня , который заключается между должны быть те же самые десятичные знаки.

Пример. Уравнение

которое мы рассматривали в примере 1 [193], имеет один положительный корень в промежутке и в этом промежутке

знака не меняют. Таким образом, мы можем положить

Вычисляем значения функции

откуда видно, что на правом конце имеют один и тот же знак и, следовательно, способ Ньютона надо применять именно к правому концу. Предварительно вычисляем значение на правом конце:

Согласно формулам (37) и (39), будем иметь

Для следующего приближения вычисляем:

откуда

что дает значение корня с точностью до двух единиц в четвертом знаке

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление