Главная > Математика > Курс высшей математики, Т.1
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

200. Интегралы вида...

Интеграл вида:

где R — рациональная функция своих аргументов, приводится к интегралу от рациональной дроби, если ввести новую переменную

Действительно, согласно известным формулам тригонометрии, получим

и, кроме того,

откуда и вытекает непосредственно наше утверждение.

Укажем теперь некоторые частные случаи, когда выкладки могут быть упрощены.

1. Положим, что не меняется при замене соответственно, на т. е. предположим, что имеет период Так как

то оказывается рациональной функцией от не меняющейся при замене на т. е. содержащей только четные степени

В рассматриваемом случае для приведения интеграла (16) к интегралу от рациональной дроби достаточно положить

Действительно, при этом

Итак, если не меняется при замене соответственноу на то интеграл (16) приводится к интегралу от рациональной дроби при помощи подстановки .

2. Предположим теперь, что меняет лишь знак при замене на Функция

не будет вовсе меняться при указанной замене, т. е. будет содержать только четные степени а следовательно:

Подставляя получим

т. е. если при замене на меняет лишь знак, то интеграл (16) приводится к интегралу от рациональной дроби при помощи подстановки

3. Точно так же нетрудно показать, что если при замене на меняет лишь знак, то интеграл (16) приводится к интегралу от рациональной дроби при помощи подстановки .

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление