Главная > Математика > Курс высшей математики, Т.1
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

26. Величины бесконечно малые.

Каждому значению переменной величины соответствует точка К на числовой оси ОХ, имеющая абсциссу и изменение изобразится перемещением точки К по оси ОХ. Положим, что все различные положения точки К при изменении остаются внутри некоторого конечного отрезка оси ОХ

Это равносильно тому, что длина отрезка ОК, где О — начало координат на оси ОХ, остается меньше определенного положительного числа М. В этом случае переменная величина называется ограниченной. Принимая во внимание, что длина ОК есть мы приходим к следующему определению.

Определение. Переменная величина называется ограниченной, если существует такое положительное число М, что для всех значений

Примером ограниченной величины может служить sin t, где t — любая упорядоченная переменная. В этом примере М есть любое число, большее единицы.

Рассмотрим теперь тот случай, когда точка последовательно перемещаясь, беспредельно приближается к началу координат. Точнее говоря, положим, что точка К при своем последовательном перемещении попадает внутрь любого наперед заданного малого отрезка оси ОХ с серединой О и при дальнейшем движении остается внутри этого отрезка. В этом случае говорят, что величина стремится к нулю, или есть величина бесконечно малая.

Обозначим длину, отрезка через . Буквой мы обозначили тем самым любое заданное положительное число. Если точка К находится внутри , то длина наоборот, если длина , то точка К находится внутри . Мы можем, таким образом, высказать следующее определение.

Определение. Переменная величина стремится к нулю или есть бесконечно малая, если при любом заданном положительном числе существует такое значение величины что для всех последующих значений выполнено неравенство

Ввиду важности понятия бесконечно малой величины дадим другую формулировку того же определения:

Определение. Величина называется стремящейся к нулю или бесконечно малой, если при последовательном изменении делается и при дальнейшем изменении остается меньше любого наперед заданного малого положительного числа е.

Термином „бесконечно малая величина" мы обозначаем вышеописанный характер изменения переменной величины, и не надо смешивать понятия бесконечно малой величины с часто употребляющимся в практике понятием очень малой величины?

Положим, что при измерении длины некоторого участка мы получили 1000 м с каким-то остатком, который считаем очень малым по сравнению со всей длиной и им пренебрегаем. Длина этого остатка выражается определенным положительным числом, и термин „бесконечно малый" в данном случае, очевидно, неприменим. Если бы в другом, более точном измерении мы встретились с такою же длиной, то перестали бы уже считать ее очень малой и приняли бы ее во внимание. Мы видим, таким образом, что понятие малой величины есть понятие относительное, связанное с практическим характером измерения.

Положим, что переменная величина принимает последовательно значения

пусть в есть любое заданное положительное число. Чтобы убедиться в том, что есть величина бесконечно малая, нам надо показать, что начиная с некоторого значения меньше , т. е. нам надо установить существование такого целого числа N, чтобы

Это число N зависит от .

Рассмотрим в качестве примера бесконечно малой величины величину, принимающую последовательно значения

Нам надо удовлетворить неравенству

Принимая во внимание, что отрицателен, можем переписать предыдущее неравенство в виде

ибо при делении на отрицательное число смысл неравенства меняется, и, следовательно, за N мы можем принять наибольшее целое число, заключающееся в частном Таким образом, рассматриваемая величина, или, как обычно говорят, последовательность (4), стремится к нулю.

Если мы в последовательности (4) заменим q на то разница будет лишь в том, что у нечетных степеней появится знак минус, абсолютные же величины членов этой последовательности останутся прежними, а потому и в этом случае мы будем иметь величину бесконечно малую.

Если величина бесконечно малая стремится к нулю), то это обычно обозначают следующим образом: Нтлг или для пронумерованной переменной: где начальные буквы латинского слова limes, что по-русски значит предел. В дальнейших доказательствах мы, кроме первой теоремы, будем проводить доказательство для пронумерованных переменных. В первой теореме мы проведем доказательство как для пронумерованных переменных, так и в общем случае.

Докажем два свойства бесконечно малых величин.

1. Сумма нескольких (определенного числа) бесконечно малых есть также бесконечно малая величина.

Рассмотрим, например, сумму трех бесконечно малых величин. Пусть эти переменные пронумерованы и

- их последовательные значения. Для w получаем последовательные значения

Пусть — любое заданное положительное число. Принимая во внимание, что х, у и z — бесконечно малые, можем утверждать: существует такое что при такое А, что при такое , что при . Обозначая через наибольшее из чисел можем утверждать, что

и, следовательно,

т. е. при откуда и следует, что w — величина бесконечно малая.

Рассмотрим теперь общий случай, когда суть функции (одной и той же упорядочивающей переменной t и ). Принимая во внимание, что х, у, z — бесконечно малые, можем утверждать: существует такое значение что для всех значений t; существует такое значение что для всех последующих значений существует такое значение что для всех последующих значений t. Обозначая через такое из трех значений переменной что два других или предшествуют ему или совпадают с ним, можем утверждать, что

для всех следующих за , и потому

для всех следующих за , т. е. w — бесконечно малая.

2 Произведение величины. ограниченной на величину бесконечно малую есть величина бесконечно малая.

Рассмотрим произведение ху пронумерованных переменных, где величина х - ограниченная и у — бесконечно малая. Из этого условия следует: существует такое положительное число , что при любом ; существует такое N, что при . При этом

т. е. при откуда и следует, что произведение бесконечно малая.

Заметим, что последнее свойство остается подавно справедливым, если — постоянная величина. При этом роль числа М может играть любое число, большее, чем С, т. е. произведение постоянной величины на бесконечно малую есть величина бесконечно малая. В частности, если бесконечно малая, то и — бесконечно малая.

Ввиду основного значения понятия бесконечно малой величины для дальнейшего мы остановимся еще на этом понятии и приведем некоторые дополнительные замечания.

Считая , вставим между двумя членами последовательности (4) число нуль. Получим последовательность

Нетрудно видеть, что и эта переменная стремится к нулю, но при этом она бесчисленное множество раз принимает значение нуль. Это не противоречит определению величины, стремящейся к нулю. Предположим, что все последовательные значения „переменной" равны нулю. Для пронумерованной переменной это значит, что при всяком а в случае где t — упорядоченная переменная, это значит, что при всех значениях t. Такая „переменная", по существу, есть постоянная величина, но она формально подходит под определение Оесконечно малой величины. Например, для пронумерованной переменной ( при любом ) для любого заданного положительного в при всех . Если при всех и С — число, отличное от нуля, то такая последовательность не есть, очевидно, бесконечно малая величина.

Возьмем те три примера упорядоченной переменной из [25], в которых нельзя пронумеровать переменную, и положим в этих примерах Первый из них — возрастающая переменная, принимающая все значения из промежутка При заданном Для всех значений этой переменной, следующих после значения если имеем Если же то для всех значений Таким образом, стремится к нулю (от меньших значений).

Совершенно аналогично стремится к нулю и в остальных двух случаях: когда убывающая переменная, принимающая все значения из промежутка и когда принимает все значения (различные) из промежутка - кроме , с определением последовательности значений, указанной в [25]. Для переменной с указанными выше способами стремления к нулю введем специальные обозначения: в первом случае будем писать стремится к нулю от меньших значений); во втором стремится к нулю от больших значений); в третьем случае стремится к нулю с двух сторон).

Имеется, конечно, бесчисленное множество способов, какими пронумерованная или не пронумерованная переменная может стремиться к нулю. Во всех этих случаях мы будем писать . В указанных выше трех случаях мы у нуля пишем знаки. Характерная особенность первого из этих трех случаев состоит в том, что возрастая, принимает все значения, меньшие нуля и достаточно близкие к нулю. Во втором случае тот же характер изменения связан с убыванием . В третьем случае принимает все значения, достаточно близкие к нулю, как меньшие, так и большие, кроме значения нуль. Из двух значений не одинаково удаленных от нуля (т. е. ), последующим считается то, которое ближе к нулю, а из двух значений, одинаково удаленных от нуля последующим считается отрицательное значение.

Сделаем еще одно замечание. Из определения бесконечно малой величины следует, что при доказательстве того, что переменная бесконечно малая, достаточно ограничиться рассмотрением лишь тех значений которые следуют после какого-либо определенного значения причем это последнее значение можно выбирать произвольно.

В связи с этим полезно в теории пределов сделать добавление к определению ограниченной величины, а именно, не надо требовать, чтобы для всех значений величины у выполнялось неравенство достаточно дать такое более общее

Определение. Величина у называется ограниченной, если существует такое положительное число М и такое значение что для всех последующих значений выполняется неравенств во

При таком определении ограниченной величины доказательство второго свойства бесконечно малых остается без изменения. Для пронумерованного переменного из второго определения ограниченной величины следует первое, так что второе определение не является более общим. Действительно, если при , то, обозначая через М наибольшее из чисел:

мы можем утверждать, что при всяком .

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление