Главная > Математика > Курс высшей математики, Т.1
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

48. Производные сложных и обратных функций.

Напомним понятие о сложной функции функция, непрерывная в некотором промежутке причем ее значения принадлежат промежутку . Пусть далее, функция, непрерывная в промежутке . Понимая под у вышеуказанную функцию от мы получим сложную функцию от

Говорят, что эта функция зависит от через посредство у. Нетрудно видеть, что эта функция будет непрерывна в промежутке . Действительно, бесконечно малому приращению соответствует бесконечно малое приращение у в силу непрерывности функции а бесконечно малому приращению у соответствует бесконечно малое приращение z в силу непрерывности F(у).

Прежде чем переходить к выводу правила дифференцирования сложной функции сделаем одно замечание. Если имеет производную при то, согласно сказанному в [45], мы можем написать

где переменная а есть функция определенная при всех достаточно близких к нулю и отличных от нуля, причем если оставаясь отличным от нуля. Равенство (3) остается справедливым для при любом выборе а, ибо при . В силу сказанного выше естественно положить при . При таком соглашении мы можем считать, что в формуле (3) а если любым образом, даже и принимая значение, равное нулю. Формулируем теперь теорему о производной сложной функции.

Теорема. Если имеет в точке производную имеет в точке производную то сложная функция имеет в точке производную, равную произведению

Пусть приращение (отличное от нуля), которое мы придаем значению независимой переменной соответствующее приращение переменной у (оно может оказаться и равным нулю). Пусть, далее, Производная от сложной функции по при равна, очевидно, пределу отношения при если этот предел существует.

Разделим обе части (3) на

При стремлении к нулю и в силу непрерывности функции в точке , а потому, как мы указали выше, . Отношение стремится при этом к производной и, переходя в написанном выше равенстве к пределу, получим

что и доказывает теорему. Отметим, что непрерывность при вытекает из предположенного существования производной [45].

Доказанная теорема может быть формулирована в виде следующего правила дифференцирования сложных функций: производная сложной функции равна произведению производной по промежуточной переменной на производную от промежуточной переменной по независимой переменной:

Переходим к правилу дифференцирования обратных функций. Если непрерывна и возрастает в промежутке (а, b) (т. е. большим значениям х соответствуют и большие у), причем то, как мы знаем [21 и 44], в промежутке существует однозначная и непрерывная обратная, также возрастающая функция . В силу возрастания, если , то и , и наоборот, и в силу непрерывности из следует и наоборот. (Совершенно аналогично рассматривается случай убывающих функций).

Теорема. Если имеет в точке производную отличную от нуля, то обратная функция имеет в точке производную

Обозначая через соответствующие приращения

и принимая во внимание, что оба они отличны от нуля, можем написать:

Как мы видели выше, одновременно стремятся к нулю, и последнее равенство в пределе и приводит к (4). Доказанная теорема может быть формулирована в виде следующего правила дифференцирования обратных функций: производная обратной функции равна единице, деленной на производную первоначальной функции в соответствующей точке.

Рис. 53.

Правило дифференцирования обратных функций имеет простое геометрическое истолкование [21]. Функции имеют один и тот же график на плоскости XOY с той лишь разницей, что для функции ось независимой переменной есть ось , а не ОХ (рис. 53). Проводя касательную МТ и вспоминая геометрическое значение производной, получим

причем на рис. 53 угол , как и а, считается положительным. Но, очевидно, следовательно,

Если есть функция, обратная то, очевидно, и наоборот — функцию можно считать обратной функции

Применим правило дифференцирования обратных функций к показательной функции.

Обратная функция в данном случае будет и, в силу VII,

откуда по правилу дифференцирования обратных функций

В частном случае при имеем

Полученная формула, вместе с правилом дифференцирования сложных функций, даст нам возможность вычислить производную от степенной функции.

XIV. ; — любое вещественное число).

Эта функция при всех определена и имеет положительные значения [191.

Пользуясь определением логарифма, мы можем представить нашу функцию в виде сложной функции

Дифференцируя по правилу дифференцирования сложных функций, получим

Этот результат нетрудно обобщить и на случай отрицательных значений если только сама функция при этом существует, например,

Применим правило дифференцирования обратных функций к нахождению производных обратных круговых функций.

Мы рассматриваем главное значение [24] этой функции, т. е. ту дугу, которая находится в промежутке —у, Функцию эту можно рассматривать как обратную функцию по отношению к функции и, согласно правилу дифференцирования обратных функций, имеем

причем у радикала надо брать знак , так как имеет знак в промежутке , Точно так же можно получить

причем рассматривается главное значение т. е. та дуга, которая заключается в промежутке .

Главное значение заключается в промежутке , и функцию эту можно рассматривать как обратную по отношению к функции следовательно,

Точно так же получим

XVII. Рассмотрим еще дифференцирование функций вида:

где — функции от х (степенно-показательная функция).

Мы можем написать

и, применяя правило дифференцирования сложных функций, получим

Применяя правило дифференцирования произведения и дифференцируя , как сложную функцию от будем иметь окончательно

или

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление