Главная > Математика > Курс высшей математики, Т.1
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

50. Понятие о дифференциале.

Пусть произвольное приращение независимой переменной, которое мы считаем уже не зависящим от Мы будем называть его дифференциалом независимой переменной и обозначать знаком либо Знак этот ни в коем случае не является произведением d на а служит лишь символом для обозначения произвольной, не зависящей от величины.

Дифференциалом функции называется произведение ее производной на дифференциал независимой переменной.

Дифференциал функции обозначают символом или :

Из этой формулы естественно получается выражение производной в виде частного двух дифференциалов:

Подчеркнем, что дифференциал независимого переменного, входящий в определение дифференциала функции и в формулу (6), может принимать совершенно произвольные значения. Фиксируя какое-либо значение мы по формуле (6) получаем соответствующее значение при заданном Если мы считаем приращением независимого переменного то надо, чтобы не только но и принадлежали промежутку, на котором определена функция. Но и при этом дифференциал функции не совпадает, кроме исключительных случаев, с приращением функции, соответствующим приращению независимого переменного.

Рис. 54.

Чтобы выяснить разницу между этими понятиями, обратимся к графику функции. Возьмем на нем некоторую точку и другую точку N. Проведем касательную МТ, ординаты, соответствующие точкам М и N, и прямую МР параллельно ОХ (рис. 54). Мы будем иметь

отсюда

Дифференциал функции изображается отрезком PQ, не совпадающим с отрезком PN, который изображает приращение функции. Отрезок PQ изображает то приращение, которое получилось бы, если бы в промежутке мы заменили отрезок MN кривой отрезком MQ касательной, т. е. если бы мы считали, что в этом промежутке приращение функции пропорционально приращению независимой переменной, и коэффициент пропорциональности взяли бы равным угловому коэффициенту касательной МТ, или, что то же, равным производной .

Разность между дифференциалом и приращением изображается отрезком NQ. Покажем, что если стремится к нулю, то разность эта есть величина бесконечно малая высшего порядка по сравнению с [36].

Отношение в пределе дает производную, а потому [27]

где есть величина бесконечно малая одновременно с

Из этого равенства получим

или

откуда видно, что разность между равна . Но отношение равное стремится к нулю вместе с , т. е. разность между есть величина бесконечно малая высшего порядка по сравнению с Заметим, что знак этой разности может быть любым. На нашем чертеже и и эта разность имеют знак

Формула (6) дает правило нахождения дифференциала функции. Применим его к некоторым частным случаям.

I. Если с есть постоянная, то

т. е. дифференциал постоянной равен нулю.

т. е. постоянный множитель можно выносить за знак дифференциала.

т. е. дифференциал суммы равен сумме дифференциалов слагаемых.

т. е. дифференциал произведения равен сумме произведений дифференциалов каждого из сомножителей на все остальные сомножители.

Мы ограничились случаем трех сомножителей. Тот же вывод годится и для любого конечного числа сомножителей.

т. e. дифференциал частного (дроби) равен произведению дифференциала числителя на знаменатель минус произведение дифференциала знаменателя на числитель, все деленное на квадрат знаменателя,

VI. Рассмотрим сложную функцию у где и есть функция от Определим предполагая у зависящим от

т. e. дифференциал сложной функции имеет тот же вид, какой он имел бы в том случае, если бы вспомогательная функция и была независимой переменной.

Рассмотрим численный пример для сравнения величины приращения функции с дифференциалом. Возьмем функцию

и рассмотрим ее приращение

Производя все действия, получим для приращения величину

Несравненно проще вычислить дифференциал функции. В данном случае и дифференциалом функции будет

Сравнивая видим, что они совпадают до третьего десятичного знака.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление