Главная > Математика > Курс высшей математики, Т.1
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

52. Оценка погрешностей.

При практическом определении или неточном вычислении какой-либо величины получается ошибка которая называется абсолютной ошибкой или абсолютной погрешностью наблюдения или вычисления. Она не характеризует точности наблюдения. Например, ошибка около 1 см при определении длины комнаты практически допустима, а такая же ошибка при определении расстояния двух близких предметов (например, свечи от экрана фотометра) указывает на большую неточность измерения. Поэтому вводят еще понятие об относительной погрешности, которая равна абсолютной величине отношения абсолютной погрешности к значению самой измеряемой величины.

Положим теперь, что некоторая величина у определяется из уравнения . Ошибка при определении величины повлечет за собой ошибку . При малых значениях можно заменить приближенно дифференциалом так что относительная погрешность при определении величины у выражается формулой

Примеры. 1. Сила тока i определяется, как известно, по тангенс-гальванометру из формулы:

Пусть — ошибка при отсчете угла

откуда видно, что относительная ошибка при определении i будет тем меньше, чем ближе к 45°.

2. Рассмотрим произведение :

и, следовательно,

т. e. относительная ошибка произведения не больше суммы относительных ошибок сомножителей.

То же правило получаем и для частного, так как

3. Рассмотрим формулу для площади круга:

т. e. относительная ошибка при определении площади круга по написанной выше формуле равна удвоенной относительной ошибке при определении радиуса.

4. Положим, что определяется угол по логарифму его синуса и тангенса. Согласно правилам дифференцирования имеем

откуда

Предположим, что при определении мы сделали одну и ту же ошибку (эта ошибка зависит от числа десятичных знаков в той таблице логарифмов, которой мы пользуемся). Первая из формул (11) Даст для величину по абсолютному значению большую, чем вторая из формул (11), так как в первой формуле произведение делится, а во второй формуле умножается на Таким образом, вычислении углов выгоднее пользоваться таблицей для

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление