Главная > Математика > Курс высшей математики, Т.1
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

63. Формула Лагранжа.

Положим, что функция непрерывна в промежутке и имеет внутри этого промежутка производную, но условие теоремы Ролля может быть не выполнено. Составим функцию

где — постоянная, которую мы определим так, чтобы новая функция удовлетворяла упомянутому условию теоремы Ролля, т. е. потребуем, чтобы

или

откуда

Применяя теперь к теорему Ролля, можем утверждать, что между а и b будет находиться такое значение при котором

откуда, подставляя найденное выше значение ,

Последнее равенство можно переписать так:

Равенство это называется формулой Лагранжа. Значение с заключается между а и b, а потому отношение заключатся между нулем и единицей, и мы можем написать

и формула Лагранжа перепишется в виде:

Полагая получим еще следующий вид формулы:

Формула Лагранжа дает точное выражение для приращения функции , а потому называется также формулой конечных приращений.

Мы знаем, что производная постоянной равна нулю. Из формулы Лагранжа мы можем вывести обратное предложение: если производная во всех точках промежутка равна нулю, то функция постоянна в этом промеэюутке.

В самом деле, возьмем произвольное значение из промежутка и, применяя формулу Лагранжа к промежутку , получим:

но по условию и, следовательно,

Относительно величины с, входящей в формулу Лагранжа, мы знаем только то, что она заключается между а и и поэтому формула Лагранжа не дает возможности точного вычисления приращения функции через производную, но с ее помощью можно произвести оценку той ошибки, которую мы делаем, заменяя приращение функции ее дифференциалом.

Пример. Пусть

Производная

и формула Лагранжа даст

или

Заменяя приращение дифференциалом, получим приближенную формулу

Сравнивая это приближенное равенство с точным, полученным по формуле Лагранжа, увидим, что ошибка

Полагая , получим приближенное равенство

с ошибкой

Заменяя в числителе этой дроби 0 единицей, а в знаменателе нулем, дробь и можем поэтому сказать, что ошибка вычисленного значения меньше

Перепишем формулу Лагранжа в виде:

Обращаясь к графику функции y = f(x) (рис. 71), заметим, что отношение

дает угловой коэффициент хорды АВ, дает угловой коэффициент касательной в некоторой точке М дуги А В кривой. Таким образом, формула Лагранжа равносильна следующему утверждению: на дуге кривой имеется такая точка, в которой касательная параллельна хорде. Частным случаем этого утверждения, когда хорда параллельна оси ОХ, т. е. является теорема Ролля.

Рис. 71,

Замечание. Из формулы Лагранжа непосредственно вытекают те признаки возрастания и убывания, которые были установлены нами выше из чертежа. Действительно, положим, что внутри некоторого промежутка первая производная f(х) положительна и пусть две точки из этого промежутка. Из формулы Лагранжа:

видно, что при положительных h разность, стоящая слева, будет величиной положительной, так как оба множителя в произведении, стоящем справа, в этом случае положительны. Таким образом, предполагая положительность производной в некотором промежутке, мы получили

т. е. функция возрастает в этом промежутке. Точно так же из написанной выше формулы непосредственно вытекает и признак убывания.

Заметим здесь же, что рассуждения, приведенные нами при доказательстве теоремы Ферма, остаются вполне применимыми и для того случая, когда в рассматриваемой точке функция достигает не обязательно наибольшего или наименьшего значения, а только лишь максимума или минимума. Эти рассуждения докажут, что в таких точках первая производная должна быть равна нулю, если она существует.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление