Главная > Математика > Курс высшей математики, Т.1
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

69. Производные сложных и неявных функций.

Положим теперь что функция зависит через посредство х и у от одной независимой переменной t, т. е. допустим, что х и у суть не независимые переменные, но функции независимой переменной и опреем делим производную - от и по .

Если независимая переменная t получит приращение то функции х и у получат соответственно приращения а и получит приращение :

В [68] мы видели, что приращение можно написать в виде:

Разделим обе части этого равенства на

Мы предполагали, что х и у допускают производную по t, а следовательно, и подавно будут непрерывными функциями от t. Поэтому при стремлении к нулю также будут стремиться к нулю, и в силу предполагаемой непрерывности и написанное равенство в пределе даст нам

Равенство это выражает правило дифференцирования сложной функции в случае функции нескольких переменных.

Предположим, в частности, что роль независимой переменной t играет переменная т. е. что функция зависит от независимой переменной как непосредственно, так и через посредство переменной у, которая является функцией от Принимая во внимание, что получим на основании равенства (3)

Производная называется полной производной от и по х в отличие от частной производной .

Доказанное правило дифференцирования сложных функций применяется для нахождения производной неявной функции. Положим, что уравнение

определяет у как неявную функцию от имеющую производную

Подставляя в уравнение (5), мы должны были бы получить тождество так как есть решение уравнения (5). Мы видим, таким образом, что постоянную нуль можно рассматривать как сложную функцию от которая зависит от как непосредственно, так и через посредство .

Производная по х от этой постоянной должна равняться нулю; применяя правило (4), получим

откуда

В полученное таким образом выражение для может войти как х, так и у, и если нужно получить выражение только через независимую переменную то придется решить уравнение (5) относительно у.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление