Главная > Математика > Курс высшей математики, Т.1
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

72. Асимптоты.

Перейдем теперь к изучению бесконечных ветвей кривой, на которых одна из координат х или у или обе вместе беспредельно возрастают. Гипербола и парабола дают нам примеры кривых с бесконечными ветвями.

Асимптотой кривой с бесконечною ветвью называется такая прямая, что расстояние точек кривой до этой прямой при беспредельном удалении по бесконечной ветви стремится к нулю.

Покажем сначала, как находить асимптоты кривой, параллельные оси OY. Уравнение такой асимптоты должно иметь вид:

где с — постоянная, и в этом случае при движении по соответствующей бесконечной ветви должно стремиться к , а у — к бесконечности (рис. 80). Мы получаем, таким образом, следующее правило. Все асимптоты кривой

параллельные оси OY, можно получить, найдя те значения х = с, при приближении к которым стремится к бесконечности Для исследования того, как расположена кривая относительно асимптоты, надо определить знак f (х) при стремлении к с слева и справа.

Перейдем теперь к нахождению асимптот, непараллельных оси QY. В этом случае уравнение асимптоты должно иметь вид

где — текущие координаты асимптоты, в отличие от — текущих координат кривой.

Пусть о» есть угол, образованный асимптотой с положительным направлением оси ОХ, МК — расстояние точки кривой до асимптоты и — разность ординат кривой и асимптоты при одинаковой абсциссе х (рис. 81). Из прямоугольного треугольника будем иметь

и, следовательно, условие

мы можем заменить условием

В случае асимптоты, непараллельной оси , при движении по соответствующей бесконечной ветви стремится к бесконечности.

Принимая во внимание, что есть разность ординат кривой и асимптоты при одинаковых абсциссах, можем переписать условие (7) так:

откуда мы и должны получить значения а и b. Условие (8) можно переписать в виде:

Рис. 81.

Но первый множитель стремится к бесконечности, а потому выражение, стоящее в квадратных скобках, должно стремиться к нулю

то

Найдя а, мы определим b из основного условия (8), которое можно переписать в виде:

Итак, для существования асимптоты, непараллельной оси ОY, у кривой

необходимо и достаточно, чтобы при движении по бесконечной ветви беспредельно возрастало и чтобы существовали пределы

и тогда уравнение асимптоты будет

Для исследования расположения кривой относительно асимптоты, надо отдельно разобрать случаи стремления лг к и в каждом из этих случаев определить знак разности

Если он будет , то кривая расположена над асимптотой, а если (—), то под асимптотой. Если же эта разность при беспредельном возрастании х не будет сохранять неизменного знака, то кривая будет колебаться около асимптоты (рис. 82).

Рис. 82.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление