Главная > Математика > Курс высшей математики, Т.1
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

75. Уравнение Ван-дер-Ваальса.

Если считать, что газ точно следует законам Бойля — Мариотта и Гей-Люссака, то получается, как известно, следующая зависимость между упругостью газа его объемом v и абсолютной температурой Г:

где R — постоянная, одна и та же для всех газов, если рассматривать одну „грамм-молекулу" газа, т. е. число граммов газа, равное его молекулярному весу.

Существующие газы не подчиняются строго указанной зависимости, и Ван-дер-Ваальсом была дана другая формула, гораздо более точно выражающая явление. Формула эта имеет вид:

где а и b — положительные постоянные, различные для различных газов. Решая уравнение относительно р, получим

Исследуем зависимость от v, считая Т постоянным, т. е. рассматривая случай изотермического изменения состояния газа. Найдем первую производную от по

Мы будем рассматривать только значения По поводу физического смысла этого условия, а также кривых, которые будут получены, отсылаем читателя к курсам физики. Приравнивая производную нулю, получим уравнение

Исследуем изменение левой части этого уравнения при изменении v от b до и для этого определим ее производную по v, помня, что произведение RT по условию постоянно:

откуда видно, что эта производная положительна при и отрицательна при т. е. левая часть уравнения (22) возрастает в промежутке и убывает при дальнейшем увеличении v, а потому при она достигает максимума, равного

Непосредственной подстановкой нетрудно также убедиться, что левая часть уравнения (22) при обращается в и, следовательно, имеет знак (—). Если найденный максимум ее также отрицателен, т. е. если

то левая часть уравнения (22) постоянно отрицательна, а в этом случае из выражения (21) видно, что производная постоянно отрицательна, т. е. убывает с возрастанием

Рис. 86.

Наоборот, если

то левая часть уравнения (22) достигает положительного максимума при и уравнение (22) имеет один корень в промежутке и другой корень в промежутке При переходе v через значение левая часть уравнения (22) и, следовательно, переходит от знака к знаку т. е. этому значению v соответствует минимум . Точно так же убедимся, что значению соответствует максимум .

Если, наконец,

то максимум левой части уравнения (22) равен нулю, значения сливаются в одно значение при переходе через это значение левая часть уравнения (22) и сохраняют знак (—), т. е. постоянно убывает с возрастанием v, и значению соответствует точка перегиба К кривой. Соответствующие этой точке перегиба значения и значение температуры определяемое из условия (23), называются критическими объемом, упругостью и температурой газа. На рис. 86 указан вид кривых, соответствующих трем рассмотренным случаям.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление