Главная > Математика > Курс высшей математики, Т.1
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

77. Элементы кривой.

Приведем основные формулы, связанные с понятием касательной к кривой и ее кривизны, и введем еще некоторые новые понятия, связанные с понятием касательной. Если уравнение кривой имеет вид:

то угловой коэффициент касательной есть производная f(x) от у по , и уравнение касательной может быть написано в виде:

где — координаты точки касания и (X, Y) — текущие координаты касательной. Нормалью к кривой в точке кривой называют прямую, проведенную через эту точку перпендикулярно к касательной в этой точке. Как известно из аналитической геометрии, угловые коэффициенты перпендикулярных прямых обратны по величине и по знаку, т. е. угловой коэффициент нормали будет и уравнение нормали можно написать так:

или

Пусть М есть некоторая точка кривой, Т и N — точки пересечения касательной и нормали кривой в точке М с осью OX, Q — основание перпендикуляра, опущенного из точки М на ось ОХ (рис. 92).

Отрезки QT и QN, лежащие на оси ОХ, называются подкасательной и поднормалью кривой в точке М, и отрезкам этим соответствуют определенные числа, положительные или отрицательные, смотря по направлению этих отрезков на оси ОХ. Длины отрезков МТ и MN называются длиною касательной и длиною нормали кривой в точке М, причем длины эти мы будем считать всегда положительными. Абсцисса точки Q на оси ОХ равна, очевидно, абсциссе точки М.

Рис. 92.

Точки Т и N суть точки пересечения касательной и нормали с осью ОХ, а потому для определения абсцисс этих точек надо положить в уравнении касательной и нормали и полученные уравнения разрешить относительно X. Мы получим, таким образом, для абсциссы точки Т выражение а для абсциссы точки - выражение Нетрудно теперь определить величину подкасательной и поднормали:

Из прямоугольных треугольников MQT и MQN можно определить теперь длины касательной и нормали:

причем знак надо выбирать так, чтобы выражения в правой части оказались положительными.

Напомним еще формулу для радиуса кривизны кривой [71]:

Обозначая длину нормали буквою , получим из второй из формул (31):

и, подставляя это значение в формулу (32), будем иметь еще следующее выражение для радиуса кривизны:

Если кривая задана параметрически

то первая и вторая производные от у по х выражаются по формулам [74]

В частности, подставляя эти выражения в формулу (32), получим выражения радиуса кривизны в рассматриваемом случае:

где а есть угол, образуемый касательной с осью ОХ.

Если кривая задана неявно

то в силу формулы (25) получим следующее уравнение касательной

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление