Главная > Математика > Курс высшей математики, Т.1
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

93. Примеры дифференциальных уравнений первого порядка.

В [51] мы рассматривали простейшие дифференциальные уравнения. Самое общее дифференциальное уравнение первого порядка имеет вид:

Это есть соотношение, связывающее независимую переменную неизвестную функцию у и ее первую производную Обыкновенно можно решить это уравнение относительно и переписать его в виде:

где f(x, у) есть известная функция от х и у.

Не рассматривая этого уравнения в общем случае, что будет сделано во втором томе, остановимся лишь на некоторых простейших примерах.

Уравнение с разделяющимися переменными, — когда функция представляется в виде отношения двух функций, из которых одна зависит только от а другая только от у:

Помня, что можем переписать это уравнение в виде:

так что в одну часть уравнения входит только буква в другую — только буква у; это преобразование и называется разделением переменных. Так как

в силу свойства I [69] получаем

откуда и можно, взяв интегралы, определить искомую функцию у.

Примеры. 1. Химические реакции первого порядка. Обозначив через а количество вещества, имевшегося к началу реакции, через количество вещества, вступившего в реакцию к моменту t, мы имеем [51] уравнение

где с — постоянная реакции. Сверх того мы имеем условие

Разделяя переменные, находим

или, интегрируя

где произвольная постоянная. Отсюда выводим

где есть также произвольная постоянная. Ее можно определить из условия (55), в силу которого предыдущее равенство при дает и окончательно

2. Химические реакции второго порядка. Пусть в растворе содержатся два вещества, количества которых к началу реакции, выраженные в грамм-молекулах, суть а и b. Допустим, что к моменту t в реакцию вступают равные количества обоих веществ, которые мы обозначим через х, так количества оставшихся веществ будут .

По основному закону химических реакций второго порядка скорость течения реакции пропорциональна произведению этих оставшихся количеств, т. е.

Нужно интегрировать это уравнение, присоединив к нему еще начальное условие

Разделяя переменные, имеем

интегрируя,

где произвольная постоянная.

Для вычисления интеграла в левой части мы применим способ разложения на простейшие дроби (пример 6) [92]:

что дает

откуда

так что

Подставляя в (26), имеем:

где . Искомая функция x определяется отсюда без всякого труда.

Предлагаем читателям разобрать особый случай а — b, когда предыдущие формулы теряют смысл.

3. Найти все кривые, пересекающие под данным постоянным углом радиусы-векторы, проведенные из начала координат 1) (рис. 121).

Рис. 121.

Пусть есть точка искомой кривой. Из чертежа мы имеем

Обозначив для удобства вычислений

и освобождаясь от знаменателей, перепишем полученное дифференциальное уравнение в виде

или, умножив обе части на

Это уравнение интегрируется весьма просто, если перейти от прямоугольных координат х, у к полярным , приняв ось ОХ за полярную ось и начало координат О за полюс. Мы имеем [82]

что

Уравнение (27) перепишется после этого в виде:

Интегрируя, имеем

Полученные кривые называются логарифмическими спиралями.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление