Главная > Математика > Курс высшей математики, Т.2
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

107. Свойства интеграла Лебега.

Поскольку интеграл Лебега может быть определен как предел сумм для подразделений Лебега или для их продолжений он имеет свойства, аналогичные свойствам интеграла Римана. Мы отметим и еще некоторые важные дополнительные свойства, которых не было у интеграла Римана. В этом номере мы считаем везде, что — измеримые ограниченные функции и Е — множество конечной меры.

1. Если С — постоянная, то

Для любого подразделения суммы имеют значение откуда и следует (49).

Пусть последовательность подразделений, при которых для для имеют пределом соответствующие интегралы. Для суммы как для так и для имеют пределом соответствующие интегралы, и (50) получается на основе теоремы о пределе суммы.

Применяем несколько раз формулу (50), а вынесение постоянного множителя за знак интеграла следует из возможности вынесения его анак сумм

4. Если на Е, то

Все суммы неотрицательны.

5. Если на Е, то

Достаточно применить 4 к разности и воспользоваться 3.

Для доказательства достаточно взять произпедение подразделении для и написать аналогичное неравенство для сумм .

7. Если , то

Непосредственно следует из 5 и 1.

8. Если , то

Неравенство равносильно: и (56) является следствием 7.

9. Если где Е" и Е измеримы и без общих точек, то

Достаточно взять последовательности подразделений для составить для них суммы сложить их и перейти к пределу.

10. Пусть ограниченная функция, определенная на множестве Е конечной меры. При этом для любого заданного существует такое 0, что

если

Это свойство следует из неравенства

Оно называется абсолютной непрерывностью интеграла?

11. Если Е разбито на конечное или счетное число измеримых множеств без общих точек), то

В случае конечного числа слагаемых формула следует из 9. В случае бесконечного числа положим: , где

при Имеем

причем последнее слагаемое по абсолютной величине и стремится к нулю при откуда и следует

Доказанное свойство называется полной аддитивностью интеграла.

12. Если множество меры нуль, т. е. , то любой ограниченной на Е функции

Функция измерима на Е и для любого подразделения суммы равна нулю.

13. Если эквивалентны на Е, то

Пусть та часть Е, где По условию, и на множестве функции совпадают. Имеем равенства

сложение которых и дает (60).

14. Если на Е и

то эквивалентна нулю.

Надо доказать, что мера множества равна нулю. Это множество можно представить в виде

и если его мера была бы положительной, то положительной должна быть по крайней мере одного из слагаемых правой части. Пусть,

например, положительная мера Обозначая имеем

Первое слагаемое правой части а второе, в силу неотрицательно, откуда следует, что левая часть положительна, что противоречит (61).

16 Пусть бесконечная последовательность функций, определенных на Е и равномерно по отношению к значку ограниченных, положительное число (L не зависит от почти везде на ). При этом

Предельная функция почти везде на Е удовлетворяет неравенству Переходя к эквивалентной функции, можем считать, что оно выполнено везде на Е. Нам надо доказать, что

Из свойства 6 следует

Пусть задано и пусть . В силу теоремы из при а в точках выполняется неравенство Кроме того, в любой точке Е

Из формулы

следует

и тем более

Поскольку при существует такое , что при таким образом,

откуда, ввиду произвольности и (64), следует (63). Доказанное свойство дает возможность переходить к пределу под знаком интеграла при единственном предположении ограниченности по абсолютной величине независимо от знака. Отметим, что достаточно предположить, что неравенство имеет место лишь почти везде на Е.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление