Главная > Математика > Курс высшей математики, Т.2
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

125. Движение твердого тела и малая деформация.

В [118] мы видели, что при вращении твердого тела вокруг точки О скорость любой точки выражается формулой

где — вектор мгновенной угловой скорости радиус-вектор

Самый общий случай движения твердого тела мы получим, придавая ему еще переносное цвижение со скоростью и при этом полная скорость выразится формулой

Найдем теперь обратно — вектор угловой скорости по заданному полю скоростей V. Заметим прежде всего, что векторы одинаковы в данный момент для всех точек тела, а потому они не зависят от (х, у, z). Мы имеем тогда по формуле .

Пусть — составляющие о относительно осей, имеющих начало в О. Составляющие векторного произведения будут: так что согласно (40) составляющие будут , а потому вектор угловой скорости выразится через v в виде

Отсюда и самое название вектора вращение вектора скорости.

Если помножим вектор скорости v на величину малого промежутка времени, то получится вектор который будет давать приближенно смещение точки за малый промежуток времени Таким образом получим векторное поле малых смещений точек твердого тела:

Обращаясь к формуле (58) и считая, что переносное движение отсутствует, т. е. что точка О закреплена, получим следующую формулу для вектора смещения:

где есть малый вектор, направленный по оси вращения и равный малому углу поворота за промежуток времени Пусть составляющие этого вектора и координаты переменной точки твердого тела. Составляющие вектора А будут

Отсюда, как и выше, нетрудно выразить вектор малого поворота через вектор смещения

Кроме того, последние формулы показывают, что составляющие вектора А суть линейные однородные функции координат .

Рассмотрим теперь общий случай линейной однородной деформации, при которой составляющие вектора смещения суть линейные однородные функции коортшак

Коэффициенты с будем считать малыми и ограничимся рассмотрением малого объема вблизи начала координат. Всякая точка этого объема сместится на вектор А и ее новые координаты после преобразования будут:

т. е.

Такое преобразование будет только в частных случаях сводиться к вращению объема (v), как твердого целого вокруг О. В общем случае оно будет связано и с деформацией этого объема, т. е. с изменением расстояний между его точками. Выясним несколько подробнее это обстоятельство.

Составляющие вихря вектора смещения А согласно (62) будут: Если бы преобразование сводилось к вращению элементарного объема, как целого, то мы получили бы вектор смещения с составляющими

Вычитая этот вектор из А, представим этот последний в виде

где вектор чистой деформации имеет составляющие

Нетрудно видеть, что этот вектор будет потенциальным вектором, а именно:

и, очевидно, вихрь этого вектора будет нуль.

Определим теперь изменение элементарного объема в результате деформации. После деформации новый объем буцет выражаться интегралом

Совершая замену переменных по формуле из [63], должны будем заменить

Раскрывая скобки и удерживая лишь свободный член и первые степени малых коэффициентов а, b и с, получим

и предыдущая формула дает

где v — величина объема до деформации. Коэффициент кубического изменения будет

но нетрудно видеть, в силу (62), что сумма, стоящая справа, есть , т. е. расходимость поля смещений дает коэффициент кубического изменения.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление