Главная > Математика > Курс высшей математики, Т.2
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

128. Уравнения распространения звука.

Уравнения (72) или (73) имеют место не только для жидкости в тесном смысле слова, но и для газа. Существенным является лишь гипотеза о том, что внутренняя сила сводится к одному давлению. Будем считать движение настолько малым, чтобы в левых частях уравнений (73) можно было пренебречь членами, содержащими произведение скоростей на их производные но координатам. При этом уравнения (73) перепишутся так:

или в векторной форме:

Точно так же, отбрасывая в уравнении (74) члены с произведениями проекций скорости на производные от плотности по координатам, получим

Пусть постоянная плотность среды в состоянии покоя. Введем малую величину s, характеризующую относительное изменение плотности при движении и определяемую равенством

Отсюда

причем в знаменателе мы отбрасываем малую величину s. В силу написанного, можно считать равенство (77) дает

Можно считать, что градиент давления пропорционален градиенту величины s, характеризующей сжатие или разрежение, т. е.

где — коэффициент упругости среды. Подставляя это в уравнение (76) и считая в этом уравнении получим

Возьмем операцию расходимости от обеих частей этого равенства

Принимая во внимание (78), можем написать это уравнение так:

Этому уравнению должна удовлетворять величина s, которая есть функция времени и координат точки. Заметим, что при вычислении расходимости производной мы переставили дифференцирование по t с операцией расходимости, что представляется законным, так как результат дифференцирования не зависит от порядка дифференцирования.

Если внешние силы отсутствуют, то уравнение (79) будет

Последнее уравнение называется обычно волновым уравнением. Вспоминая, что величина s характеризует величину сгущения или разрежения,

мы можем сказать, что в нашем случае это уравнение дает закон распространении звука. Те части пространства, где отлична от нуля, будут источниками звука.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление