Главная > Математика > Курс высшей математики, Т.2
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

135. Естественное уравнение кривой.

Вдоль всякой кривой кривизна есть определенная функция длины дуги

Покажем, наоборот, что всякому уравнению вида (12) соответствует одна определенная кривая. Действительно, выберем какое-нибудь направление за направление оси X и пусть есть угол, образованный касательной кривой с этой осью. Как известно, уравнение (12) дает

откуда

Можно считать, что направление оси ОХ совпадает с направлением касательной при так что в последней формуле можно считать , т. е. мы получаем выражение для угла :

Далее мы знаем, что [I, 70]

откуда, в силу предыдущего равенства,

Помещая начало координат в точку кривой, для которой мы должны будем считать и получим вполне

определенную кривую

Двойной знак дает только симметрию относительно оси ОХ.

Мы показали таким образом, что уравнению (12) может соответствовать определенная в указанном выше смысле кривая и что при выбранной системе координат уравнения должны давать параметрическое задание этой кривой. Нетрудно проверить, что, действительно, для кривой, определяемой уравнениями кривизна имеет значение, определяемое формулой (12).

Уравнение (12) называется естественным уравнением кривой в том смысле, что уравнение это не связано ни с каким случайным выбором осей координат и ему соответствует одна вполне определенная кривая (с точностью до симметрии).

Примеры. 1. Если уравнение (12) имеет вид т. е. радиус кривизны есть величина постоянная, то, как мы знаем, такому уравнению удовлетворяет окружность [I, 71]. Из предыдущего следует, что окружность есть единственная кривая с постоянным радиусом кривизны.

Рис. 103.

2. Положим, что кривизна — пропорциональна длине дуги

где - положительный коэффициент пропорциональности. Предыдущие вычисления дадут в данном случае

В силу сходимости интегралов [86]

можно утверждать, что при беспредельном возрастании s кривая будет стремиться к точке плоскости с координатами, равными значениям вышенаписанных интегралов, причем она будет спиралеобразно закручиваться вокруг этой точки (рис. 103). Если в формулах (13) будем придавать s и отрицательные значения, то получим часть кривой, содержащуюся в третьем координатном угле. Полученная здесь кривая называется спиралью Корню. Она встречается в оптике.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление