Главная > Математика > Курс высшей математики, Т.2
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

136. Основные элементы кривой в пространстве.

Кривая (L) в пространстве может быть определена заданием переменного радиуса-вектора из начала в переменную точку кривой М (рис. 104).

Принимая за параметр t длину дуги кривой и дифференцируя по получим единичный вектор касательной к кривой [119]

Производная от t по называется вектором кривизны:

и длина этого вектора кривизны дает кривизну кривой , а обратная величина называется радиусом кривизны. Как и в случае плоской кривой, вектор N перпендикулярен к t, и направление вектора N называется направлением главной нормали кривой. Вводя единичный вектор главной нормали , можно паписать

Рис. 104.

Введем еще один единичный вектор, перпендикулярный к t и :

Этот вектор называется единичным вектором бинормали.

Три единичных вектора t, и b, имеющих ту же ориентировку, что и координатные оси, составляют, как говорят, переменный триэдр, связанный с кривой (I). Если кривая плоская, то векторы t и находятся в плоскости кривой и, следовательно, единичный гектор бинормали b есть постоянный вектср длины единица, перпендикулярный к плоскости кривой. Для кривой неплоской производная — характеризует отклонение кривой от плоской формы и называется вектором кручения. Докажем, что вектор кручения параллелен главной нормали. Согласно формуле (17)

Но векторы N и совпадают по направлению, и, следовательно, их векторное произведение равно нулю, т. е.

откуда вытекает перпендикулярность векторов и t. С другой стороны, как всегда, производная единичного вектора — перпендикулярна

к самому вектору b. Таким образом вектор перпендикулярный векторам t и b, будет действительно параллелен вектору , и мы можем записать

где численный коэффициент — называется кручением кривой, а обратная величина — радиусом кручения, или радиусом второй кривизны. Заметим, что величина — может быть как положительной, так и отрицательной, в противоположность кривизне которая всегда не отрицательна. Существование вектора касательной, вектора кривизны и вектора кручения связано, конечно, с существованием производных, через которые они выражаются.

Выведем теперь формулы для вычисления кривизны и кручения. Вводя координатные оси OX, OY, OZ и соответствующие им единичные векторы i, j и k, можно написать

откуда для длины вектора N получим

Из формулы (19) вытекает, что кручение — можно выразить как скалярное произведение

или, в силу (18),

Заменяя его выражением из формулы (16)

получим

Но векторное произведение перпендикулярно вектору N, а потому первое из слагаемых в последнем выражении равно нулю, и мы получаем

или, переставляя множители в векторном произведении,

Совершая круговую перестановку векторов и пользуясь формулами (14) и (15), получим окончательно

Заметим, что коэффициент при есть объем параллелепипеда, построенного на векторах [117].

Возвратимся к формуле (20) для кривизны. В ней предполагается, что координаты выражены как функции длины дуги. Преобразуем теперь формулу (20) к новому виду, годному для любого параметрического задания кривой. Для этого нам надо будет выразить производную от координат по длине дуги через дифференциалы координат. Дифференцируя формулу

получим

Кроме того, имеем [I, 74]

Подставляя это в формулу (20), будем иметь в силу (22)

или, в силу (22) и (23),

Вспомним теперь элементарное алгебраическое тождество, необходимое нам в дальнейшем [116]:

Применяя это тождество к числителю в выражении (25), можем написать окончательную формулу для квадрата кривизны

где

Если кривая (I) есть траектория движущейся точки, то вектор скорости определится из формулы

Дифференцируя еще раз по времени, получим вектор ускорения

или, в силу (15) и (16),

откуда видно, что вектор ускорения имеет составляющую по касательной, равную и по главной нормали — равную , а составляющая по бинормали равна нулю.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление