Главная > Математика > Курс высшей математики, Т.2
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

137. Формулы Френе.

Введем обозначение для направляющих косинусов осей подвижного триэдра относительно неподвижных координатных осей, указанное в прилагаемой таблице.

Формулы Френе дают выражения производной от написанных девяти направляющих косинусов по s.

Составляющие единичного вектора t суть , и формула

дает первые три формулы Френе:

Точно так же формула (19) приводит к следующим трем формулам

Френе:

Рассмотрение подвижного триэдра дает непосредственно и, дифференцируя по s, получим

Это дает три последние формулы Френе:

Пользуясь формулами (28), нетрудно показать, что если вдоль линии (L) кривизна равна нулю, то это есть прямая линия.

Действительно, тождество дает

откуда видно, что суть постоянные. Но, как известно [I, 160], направляющие косинусы касательной равны соответственно и и раз эти производные — постоянные, то сами координаты суть полиномы первой степени от , т. е. линия есть действительно прямая.

Точно так же нетрудно показать, что если вдоль кривой кручение равно нулю, то эта кривая есть плоская кривая.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление