Главная > Математика > Курс высшей математики, Т.2
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

143. Вторая дифференциальная форма Гаусса.

Рассмотрим какую-нибудь линию (L) на поверхности и пусть t — ее единичный вектор касательной. Он, очевидно, перпендикулярен к единичному вектору нормали к поверхности, т. е. . Дифференцируя это соотношение по длине дуги s кривой (L), будем иметь

где — радиус кривизны и — единичный вектор главной нормали кривой (L). Предыдущее равенство можно переписать в виде

где угол между нормалью к поверхности и главной нормалью к кривой (L). Выражая дифференциалы через координатные параметры u и v, можно написать

Раскрывая в числителе скобки, получим вторую дифференциальную форму Гаусса:

где

и формула (46) окончательно примет вид

Укажем теперь другие выражения для коэффициентов L, М и N. Дифференцируя очевидные соотношения

по независимым переменным получим четыре соотношения

и отсюда можем, вместо формул (47), написать следующие выражения для коэффициентов второй дифференциальной формы Гаусса:

Вспоминая выражение (45) для вектора , можем переписать равенства (49) в виде

Рассмотрим теперь тот случай, когда уравнение поверхности дано в явном виде

В данном случае роль параметров играют х и у, и мы будем иметь следующие выражения для составляющих радиуса-вектора и его производных по параметрам:

где

Применяя формулы (42,) и (50), получим выражения коэффициентов в обеих формах Гаусса:

Выберем теперь координатные оси определенным образом, а именно поместим начало координат в некоторую точку на поверхности,

оси ОХ и ОY возьмем в касательной плоскости к поверхности в точке и ось OZ направим по нормали поверхности. Значком нуль будем обозначать тот факт, что соответствующая величина взята в точке При сделанном выборе координатных осей косинусы углов, образованных нормалью к поверхности с осями ОХ и О К, будут в точке равны нулю, мы получим и формулы (53) дадут в точке

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление