Главная > Математика > Курс высшей математики, Т.2
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

145. Индикатриса Дюпена и формула Эйлера.

Фиксируя координатные оси так, как это было указано в предыдущем номере, построим в касательной плоскости, т. е. в плоскости XOY, вспомогательную кривую следующим образом: на всяком радиусе-векторе из начала О отложим отрезок где радиус кривизны того нормального сечения, для которого взятый радиус-вектор является касательной. Знак выбираем так, чтобы под радикалом оказалась положительная величина.

Рис. 108.

Геометрическое место концов N построенных отрезков дает кривую, которая называется индикатрисой Дюпена. Свойство этой кривой,

согласно построению, следующее: квадрат любого ее радиуса-вектора дает абсолютное значение радиуса кривизны того нормального сечения, для которого взятый радиус-вектор является касательной (рис. 108).

Составим уравнение индикатрисы Дюпена. Пусть - координаты переменной точки N на индикатрисе. Согласно построению

т. е.

причем при положительном R надо брать верхний знак, а при отрицательном — нижний. Умножая обе части равенства (57) на получим, в силу (57):

Это и есть уравнение индикатрисы Дюпена. Кривая эта дает геометрически наглядное представление об изменении величины радиуса кривизны при вращении нормального сечения вокруг нормали к поверхности. В эллиптическом случае кривая (58) есть эллипс, и в правой части надо брать определенный знак. В гиперболическом случае уравнению (58) соответствуют две сопряженные гиперболы. В параболическом же случае левая часть уравнения (58) есть полный квадрат, и его можно переписать в виде

или

и мы имеем совокупность двух параллельных прямых. Во всех трех случаях точка О является центром кривой, и кривая имеет две оси симметрии. Мы можем выбрать оси ОХ и OY совпадающими с этими осями симметрии; при этом, как известно, в левой части уравнения (58) пропадает член, содержащий произведение т. е. при указанном выборе осей должно быть и формула (57) даст при таком выборе осей ОХ и

Выясним геометрический смысл коэффициентов Полагая D формуле мы получим кривизну нормального сечения, касающегося оси ОХ, и, следовательно, Точно так же,

полагая получим, где - кривизна нормального сечения, касающегося оси OY. Подставляя найденные значения в формулу (59), получим формулу Эйлера

Заметим, что направления осей ОХ и OY совпадают с направлениями осей симметрии кривой (58). Положим, что — и что, например, Из формулы (60) непосредственно следует, что достигает наибольшего значения при и наменьшего значения — при

Полученный результат формулируем в виде следующей теоремы: Теорема 3. В каждой точке поверхности существуют два взаимно перпендикулярных направления в касательной плоскости, для которых кривизна достигает максимума и минимума, и если - соответствующие этим направлениям значения кривизны, то кривизна любого нормального сечения выражается по формуле (60), где - угол, образованный касательной к рассматриваемому нормальному сечению с тем направлением, которое дает кривизну

Радиусы кривизны называются главными радиусами кривизны нормальных сечений в рассматриваемой точке. Те два направления в касательной плоскости, которые их дают, называются главными направлениями. Кроме того в гиперболическом случае полезно отметить еще два направления в касательной плоскости, а именно — направления асимптот индикатрисы Дюпена. Для этих асимптотических направлений радиус-вектор индикатрисы равен бесконечности, и кривизна соответствующего нормального сечения в рассматриваемой точке равна нулю.

В эллиптическом случае имеют одинаковые знаки. В гиперболическом случае эти величины будут разных знаков. В параболическом же случае кривизна одного из главных нормальных сечений будет равна нулю, и, считая, например, мы будем иметь в параболическом случае формулу

Отметим еще один частный случай точек поверхности эллиптического типа, а именно тот случай, когда величины и одинаковы, т. е. Формула (60) даст при этом т. е. в данном случае все нормальные сечения имеют в рассматриваемой точке одинаковую кривизну. Такая точка поверхности называется точкой закругления, или омбилической точкой. Можно доказать, что сфера — единственная поверхность, все точки которой омбилические.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление