Главная > Математика > Курс высшей математики, Т.2
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

146. Определение главных радиусов кривизны и главных направлений.

Перепишем основную формулу (56) для кривизны нормального сечения в виде

Деля на и вводя вспомогательную величину характеризующую направление касательной к нормальному сечению, получим уравнение:

из которого кривизна нормального сечения определяется в зависимости от t. Для главных направлений величина должна достигать максимума или минимума, а потому производная по t должна обращаться в нуль. Но эта производная выражается, очевидно, формулой [I, 69]

и, следовательно, для главных направлений производная должна обращаться в нуль, т. е.

Заменяя умножая на получим

Если бы мы разделили уравнение (61) на и за переменную, характеризующую направление касательной, взяли бы то совершенно так же получили бы для главных направлений равенство

Перенося в равенствах (62) и (63) члены с направо и почленно деля одно равенство на другое, мы получим квадратное уравнение для определения кривизны главных нормальных сечений, т. е.

Выражение

называется гауссовой кривизной поверхности в заданной точке, а выражение

называется средней кривизной. Из квадратного уравнения (64) получаем непосредственно выражение гауссовой и средней кривизны через коэффициенты первой и второй формы Гаусса:

Перепишем уравнения (62) и (63) в виде

Разделив почленно одно на другое, мы исключим букву R и после элементарных преобразований получим уравнение

Деля его на будем иметь квадратное уравнение относительно Его два корня дадут нам величины, характеризующие главные направления в каждой точке поверхности:

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление