Главная > Математика > Курс высшей математики, Т.2
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

151. Вариация элемента площади и средняя кривизна.

Пусть (S) — некоторая поверхность, ее координатные параметры и ее радиус-вектор. Откладывая в каждой точке

поверхности по нормали отрезок алгебраической величины где некоторая функция u и v, получим новую поверхность (S), образованную точками Точки мы будем характеризовать теми же параметрами что и точки МУ и будем говорить, что между точками (S) и установлено соответствие по нормалям к (S). Радиус-вектор поверхности по определению будет: Дифференцируя по , получим:

Вычислим коэффициенты первой формы Гаусса для поверхности причем будем считать длину и ее производные по — малыми и будем пренебрегать членами второго измерения относительно этих величин

Векторы взаимно перпендикулярны и и формула (47) дает Точно так же нетрудно получить Отсюда

или, в силу (67),

Извлекая корень, разлагая по биному Ньютона и откидывая члены со степенями выше первой, будем иметь:

Умножая на и интегрируя, получим с точностью до малых величин второго порядка выражение разности 85 площадей близких поверхностей (S) и

или.

В непосредственной связи с этой формулой находится известная задача Плато об определении поверхности с наименьшей площадью, натянутой на заданный контур (L). Нетрудно видеть, что на

такой поверхности средняя кривизна Н должна быть равна нулю. Действительно, если бы на некотором участке такой поверхности величина И оказалась, например, положительной, то, выбирая малую величину также положительной на о и равной нулю на остальной части поверхности и в частности на (L), мы получили бы, в силу (85), для отрицательное значение

и поверхность (60, проходя через ), имела бы площадь, меньшую, чем (5, что противоречит предположению. В силу указанного обстоятельства поверхности со средней кривизной, равной нулю, называются минимальными поверхностями.

Из формулы (84) вытекает также формула дифференцирования интеграла по переменной замкнутой поверхности по параметру. Допустим, что положение некоторой переменной замкнутой поверхности определяется значением параметра X и что при поверхность занимает положение (S), а при X, близких к , - положение , близкое к (S). Установим между точками М поверхности и точками поверхности ) соответствие по нормалям, как это описано выше. При этом будет функцией , которая обращается тождественно относительно u и v в нуль при т. е.

Пусть далее некоторая функция точки в пространстве, не зависящая от параметра X. Величина интеграла

будет зависеть от параметра X, так как от этого параметра зависит вид поверхности. Найдем выражение для производной Умножая обе части (84) на , можем написать и выражение (87) перепишется так:

При этом область интегрирования — исходная поверхность ( - уже не зависит от X, и мы можем применить обычное правило дифференцирования под знаком интеграла [83]. Точка лежит на поверхности ), и пусть М — соответствующая ей точка на поверхности так что отрезок нормален к (S), т. е. имеет направление Множитель при дифференцировании по X при Даст

где — направление нормали Принимая во внимание, что множитель обращается в нуль при и обозначая через значение производной при получим

Пусть уравнение переменной поверхности написано в неявной форме

Дифференцируя по X как непосредственно, так и через посредство так же, как это мы делали с функцией получим при

Определяя отсюда и подставляя в формулу (88), получим следующее выражение для производной:

Если в интеграле (87) и подынтегральная функция f содержит параметр X, то так же, как и в [132], к правой части (90) надо добавить слагаемое вида

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление