Главная > Математика > Курс высшей математики, Т.2
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

177. Решение Даламбера.

В случае свободных колебаний бесконечной струны искомая функция и должна удовлетворить уравнению (6)

при начальных условиях (8)

причем ввиду неограниченности струны функции заданы в промежутке .

Можно найти самое общее решение уравнения (6), и притом такой форме, что легко можно будет удовлетворить и условиям (8).

Для этого преобразуем уравнение (6) к новым независимым переменным:

или

Считая и зависящим от и t через посредство и и применяя правило дифференцирования сложных функций, выразим производные по прежним переменным через производные по новым переменным:

Применяя эти же формулы еще раз, получим

откуда

и уравнение (6) оказывается равносильным следующему:

Переписав уравнение (11) в виде

заключаем, что не зависит от к], т. е. является функцией только от t Положив

получаем, интегрируя,

где есть произвольная функция от («постоянная» при интегрировании по может зависеть от ). Первое слагаемое можно считать здесь произвольной функцией от , ибо есть произвольная функция , и, обозначив ее через имеем

или, переходя к старым переменным

где - произвольные функции своих аргументов. Это самое общее решение уравнения (6) называется решением Даламбера; оно содержит две произвольные функции и 02. Для их определения мы воспользуемся начальными условиями (8), которые, ввиду равенства

и равенства (12), дают

или, интегрируя и меняя знак на обратный,

Положив определяем произвольную постоянную О.

Не ограничивая общности, можем считать , т. е.

ибо, если бы оказалось то, введя вместо функций функции

мы, не меняя равенств (13), удовлетворили бы и (14).

Итак, мы имеем

Отсюда мы без труда определяем функции :

Подставив полученные выражения в формулу (12), находим

или, окончательно,

Формула (17) дает, очевидно, дважды непрерывно дифференцируемое решение (так называемое классическое решение) задачи, если имеет непрерывные производные , а - непрерывную производную при Однако нередко приходится иметь дело с задачами, в которых начальное возмущение задается функциями, не удовлетворяющими этим условиям. Например, если струна в начальный момент имеет форму ломаной линии, то не имеет определенной производной в вершине ломаной. Тем не менее разумно считать, что формула (17) дает решениз задачи, хотя функция и не всюду имеет непрерывные производные до второго порядка. В этом случае говорят, что задача имеет так называемое обобщенное решение. Теория обобщенных решений будет изложена в томе IV,

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление