Главная > Математика > Курс высшей математики, Т.2
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

17. Уравнение у^(n)=f(x).

Уравнение

является непосредственным обобщением уравнения у' = f(x). Выясним сначала форму общего интеграла уравнения (17). Пусть есть какое-либо решение уравнения (17), т. е.

Введем в уравнение (17) вместо у новую искомую функцию z по формуле

Подставляя в уравнение (17), получим для z уравнение

или, в силу тождества (18),

Раз производная порядка должна быть равна нулю, то сама функция z есть многочлен степени с произвольными постоянными коэффициентами

и формула (19) дает общий интеграл уравнения (17)

т. е. общий интеграл уравнения (17) есть сумма какого-либо частного решения этого уравнения и многочлена степени с произвольными постоянными коэффициентами.

Нам остается, таким образом, найти какое-либо частное решение уравнения (17). Считаем, что функция непрерывна в промежутке , содержащем некоторую точку и будем искать то решение, которое удовлетворяет пулевым начальным условиям:

Интегрируя уравнение (15) почленно от значения до переменного значения получим

где есть значение и при

В силу последнего, из условий , и мы будем иметь

Интегрируя правую часть по еще раз в пределах от до получим и т. д. и, наконец, после интегрирования получим искомую функцию. Это повторное интегрирование обычно записывают так:

Эти повторных квадратур можно заменить одной, как мы сейчас покажем.

Напишем для формулу Тейлора с остаточным членом в виде интеграла [I, 126]:

где значения у и его производных при и буква t обозначает просто переменную интегрирования. В силу начальных условий (20)

а, в силу дифференциального уравнения , так что вышеуказанная формула Тейлора дает

Итак, формула (22) дает решение уравнения (17) при нулевых начальных условиях (20) или, что то же, дает выражение повторного интеграла (21) в виде однократного интеграла.

Прибавляя к решению (22) многочлен степени с произвольными коэффициентами, получим общий интеграл уравнения (17). Заметим, что в правой части формулы входит как в верхний предел интеграла, так и под знак интеграла. Интегрирование совершается по t, и при этом х считается постоянным. Формула (22) справедлива, очевидно, и при если считать .

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление