Главная > Математика > Курс высшей математики, Т.2
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

185. Цилиндрические волны.

Отнесем пространство к прямолинейным прямоугольным осям и предположим, что функции зависят только от , т. е. сохраняют постоянное значение на всякой прямой, параллельной оси OZ. Если передвигать точку параллельно оси OZ, то, очевидно, правая часть формулы не будет менять своего значения, т. е. функция также не будет зависеть от z, и формула даст нам решение уравнения

при начальных условиях

Мы можем рассматривать это решение, оставаясь исключительно на плоскости XOY. Для этого нам надо интегралы формулы которые берутся по сферам, преобразовать в интегралы по кругам на плоскости XOY. Возьмем точку на плоскости XOY. Точки с координатами определяемыми по формулам (77) при суть переменные точки сферы с центром и радиусом Элемент площади поверхности этой сферы будет Части этой сферы, находящиеся над и под плоскостью XOYy проектируются на плоскость XOY в виде круга с центром М и радиусом Элемент площади проекции связан с элементом площади поверхности сферы формулой [66]:

где — направление нормали к т. е. радиуса этой сферы, образующее острый угол с осью OZ. Если - переменная точка сферы, проекция на плоскость XOY, то из элементарных геометрических соображений ясно, что

где — координаты переменной точки круга Подставляя все это в первый из интегралов формулы и принимая во внимание, что круг получится как от верхней, так и от нижней части сферы мы получим следующее преобразование первого интеграла формулы :

Применяя то же преобразование ко второму интегралу и обозначая элемент площади на плоскости XOY в виде мы получаем окончательно следующую формулу для искомой функции, удовлетворяющей уравнению (78) и условиям (79):

Положим, что начальное возмущение ограничивается некоторой конечной областью (В) на плоскости XOY с контуром равны нулю вне (В). Положим, что точка М лежит вне (В).

Для моментов времени где — кратчайшее расстояние от М до контура круг не имеет общих точек с (В), функции равны нулю во всем круге и формула (80) дает . В момент в точку М придет передний фронт волны. Для значений где D — наибольшее расстояние от М до точек круг будет содержать внутри себя всю область (В), и интегрирование в формуле (80) надо совершать просто по области (В), так как обращаются в нуль вне (А), т. е.

В данном случае, после прохождения заднего фронта волны в момент функция не обращается ни в нуль, как в случае трехмерного пространства, ни в постоянную, как в случае струны. Но ввиду присутствия в знаменателе мы можем все же утверждать, что будет стремиться к нулю при беспредельном возрастании

Говорят, что в рассматриваемом случае имеет место явление диффузии волн после прохождения заднего фронта. Мы провели все рассуждение, оставаясь на плоскости XOY. В трехмерном пространстве уравнению (78) соответствуют так называемые цилиндрические волны.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление