Главная > Математика > Курс высшей математики, Т.2
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

187. Неоднородное волновое уравнение.

Рассмотрим неоднородное волновое уравнение

в безграничном пространстве, и будем искать его решение, удовлетворяющее нулевым начальным условиям

Добавляя к этому решению решение однородного уравнения, удовлетворяющее начальным условиям (75), получим решение уравнения (83), удовлетворяющее условиям (75).

Для решения поставленной выше задачи рассмотрим решение однородного уравнения

удовлетворяющее начальным условиям

причем в качестве начального момента взято не , где — некоторый параметр. Функция w будет выражаться формулой Пуассона, но только в этой формуле мы должны заменить t на , поскольку начальным моментом времени является не Мы будем иметь таким образом

где

Отметим, что функция w, кроме обычных независимых переменных зависит от параметра . Определим теперь функцию и формулой

и покажем, что она удовлетворяет неоднородному уравнению (83) и нулёвым начальным условиям (84). Мы имеем

Внеинтегральный член равен нулю в силу первого из условий (86). Дифференцируя еще раз по t, получим

причем полученный внеинтегральный член равен в силу второго из условий (86), т. е.

При дифференцировании выражения (89) по координатам достаточно дифференцировать подынтегральную функцию

Из двух последних формул и уравнения (85) непосредственно вытекает, что и удовлетворяет уравнению (83). Начальные условия (84) непосредственно следуют из формул (89) и (90), если принять во внимание, что в формуле (90) внеинтегральный член равен нулю, как было указано выше. Таким образом формула (89) дает решение уравнения (83) при начальных условиях (84). Подставляя в (89) вместо функции ее выражение (87), получим

Это выражение для и преобразуем к другому виду. Вместо t введем новую переменную интегрирования: . Совершая замену переменных, получим

или, умножая и деля на

Принимая во внимание формулы (88) для и вспоминая выражение для элемента объема в сферических координатах, мы видим, что входящие в последнюю формулу три квадратуры равносильны тройному интегралу по сфере с центром и радиусом . Вводя переменную точку

и, принимая во внимание, что , получим

и выражение для и запишется окончательно в виде

где неравенство характеризует упомянутую выше сферу Характерным в подынтегральной функции последнего выражения является тот факт, что функция берется в момент времени предшествующий моменту t, для которого вычисляется

Разница в моментах времени дает то время, которое нужно для перехода из точки в точку со скоростью а. Выражение (91) называется обычно запаздывающим потенциалом. Отметим еще, что основная формула (89) имеет простой физический смысл, а именно она показывает, что решение неоднородного уравнения (83), удовлетворяющее начальным условиям (84), является суммой импульсов происходящих от наличия свободного члена и определяемых уравнениями (85) и (86).

Рассмотрим теперь неоднородное волновое уравнение для цилиндрических волн

при нулевых начальных условиях. Совершенно так же, как и выше, мы можем получить решение задачи в виде

где удовлетворяет однородному уравнению

и начальным условиям

Принимая во внимание формулу (80), получим окончательно

Отметим, что в последней формуле мы имеем интегрирование по времени, чего не было в формуле (91), где зависимость от времени сводилась лишь к зависимости от времени радиуса сферы, по которой призводилось интегрирование, и к зависимости от времени функции . В линейном случае

решение будет, очевидно,

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление