Главная > Математика > Курс высшей математики, Т.2
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

190. Прямоугольная мембрана.

Рассмотрим свободные колебания прямоугольной мембраны, контур которой есть прямоугольник со сторонами

в плоскости Внешнюю силу мы будем считать отсутствующей, т. е.

Нам нужно найти решение уравнения

удовлетворяющее условиям (102) и (103).

Применяя опять способ стоячих волн (Фурье), ищем частное решение уравнения (105) в виде

что дает нам

откуда, полагая

находим уравнение для U:

Ищем частное решение этого уравнения в виде

что дает нам

или

где — пока неопределенная постоянная.

Итак, мы имеем два уравнения:

где

Уравнения (109) дают нам общий вид функций :

Из условия

получаем

а это последнее условие, в свою очередь, распадается на следующие условия:

откуда ясно, что и если мы отбросим постоянные множители не равные нулю, то окажется:

причем

Из уравнений (111) вытекает, что X и имеют бесчисленное множество значений

Взяв по произволу по одному значению . из рядов (112), получим соответствующее значение постоянной

а по этому значению найдем и соответствующее значение частоты из (107):

Подставив в выражение вместо вместо , и обозначив через соответствующие значения , мы получаем бесчисленное множество решений уравнения (105), удовлетворяющих предельному условию (102), в виде

т. е. бесчисленное множество собственных (свободных) гармонических колебаний мембраны, соответствующих таковым же колебаниям струны.

Постоянные определяются из начальных условий. Положив в формулах

получим на основании (103)

Эти формулы суть не что иное, как разложения функций и в двойные ряды Фурье, и коэффициенты определяются, как нетрудно видеть, по формулам

что и дает решение поставленной задачи.

Случай мембраны отличается от случая струны тем, что для последней каждой частоте собственных колебаний соответствует своя форма струны, которая просто разделяется узлами на несколько равных частей. Для мембраны же может оказаться, что одной и той же частоте соответствует несколько фигур мембраны с различными положениями узловых линий, т. е. таких линий, на которых амплитуда колебаний приводится к нулю. Проще всего это можно исследовать на примере квадратной мембраны

В этом случае частота определяется по формуле

где — есть множитель, не зависящий от . Полагая , получаем основной тон мембраны с частотой :

Узловых линий внутри мембраны при этом не имеется совсем. Полагая затем

имеем два других тона одинаковой частоты

именно

Узловые линии этих простейших колебаний суть соответственно

Но, кроме колебаний существует еще бесчисленное множество других колебаний той же частоты которые получаются линейной комбинацией . Полагая для простоты мы получаем колебание вида

где

При узловые линии определяются из уравнения

что дает узловую линию

При точно таким же путем найдем узловую линию: .

Рис. 127.

Эти простейшие случаи изображены на рис. 127. Более сложные узловые линии при той же частоте мы получим, когда . Все они имеют уравнения вида

Полагая теперь

получаем единственный тон частоты

узловые линии которого суть (рис. 128):

Следующий случай

приводит опять к бесчисленному множеству колебаний одной и той же частоты Их узловые линии в простейших случаях, аналогичных

случаю с частотой изображены на рис. 129. Все эти фигуры представляют собою не что иное, как известные из акустики хладниевы фигуры.

Вынужденные колебания мембраны исследуются совершенно так же, как и вынужденные колебания струны, с тою лишь разницей, что внешняя сила разлагается не в простой, а в двойной ряд Фурье.

Рис. 128.

Рис. 129.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление