Главная > Математика > Курс высшей математики, Т.2
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

§ 18. ТЕЛЕГРАФНОЕ УРАВНЕНИЕ

194. Основные уравнения.

Оба изложенных выше способа: характеристик (Даламбера) и стоячих волн (Фурье) с успехом применяются и при исследовании так называемого телеграфного уравнения, которое имеет основное значение в теории распространения квазистационарных электрических колебаний по кабелям.

Пусть имеем цепь, состоящую из прямого и обратного проводников длины . Мы будем считать, что по всей этой цепи равномерно распределены рассчитанные на единицу длины омическое сопротивление самоиндукция емкость С и утечка изоляции А, чем этот случай отличается от разобранного в [I,181], когда мы имели сопротивление, самоиндукцию и емкость сосредоточенными лишь в отдельных точках цепи, а остальными ее частями мы пренебрегали. Обозначим через v и напряжение и силу тока в сечении цепи на расстоянии от конца . Эти функции от и t связаны двумя дифференциальными уравнениями, которые мы сейчас выведем.

Применяя закон индукции к элементу цепи, мы должны написать, что падение напряжения в этом элементе

складывается из омического и индуктивного , или, разделяя на dx:

Далее, разность между токами, входящим и выходящим из элемента т. е.

складывается из токов заряжения dx и утечки , что дает

Весьма важное значение имеют предельные условия, которые должны выполняться на концах цепи. Если конец цепи открыт, то в этом конце мы должны иметь

Вообще, если в конце цепи включена внешняя электродвижущая сила Е, сопротивление и самоиндукция X, то в этом конце мы должны иметь

В частности, если, например, один конец поддерживается под напряжением Е, а другой замкнут накоротко, мы имеем

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление